関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ の極大値を求めよ。極大値をとる $x$ の値も求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ の極大値を求めよ。極大値をとる $x$ の値も求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求める。

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。これは極値の候補となる。

(3) 求めた $x$ の値に対して、 $f'(x)$ の符号変化を調べる。$f'(x)$ が正から負に変わる $x$ が極大値を与える。

(4) 極大値を与える $x$ の値を $f(x)$ に代入して、極大値を求める。

手順詳細：

(1) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

(2) $f'(x) = 0$ を解く。

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

(3) $x=0, 2$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べる。

- $x<0$ のとき、$f'(x) = 3x(x-2) > 0$ (例: $x = -1$ のとき $f'(-1) = 3(-1)(-3) = 9 > 0$)

- $0<x<2$ のとき、$f'(x) = 3x(x-2) < 0$ (例: $x = 1$ のとき $f'(1) = 3(1)(-1) = -3 < 0$)

- $x>2$ のとき、$f'(x) = 3x(x-2) > 0$ (例: $x = 3$ のとき $f'(3) = 3(3)(1) = 9 > 0$)

$x=0$ の前後で $f'(x)$ の符号が正から負に変わるので、$x=0$ で極大となる。

$x=2$ の前後で $f'(x)$ の符号が負から正に変わるので、$x=2$ で極小となる。

(4) $x=0$ のときの $f(x)$ の値を計算する。

$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$

3. 最終的な答え

極大値は $2$ であり、$x = 0$ のときにとる。