与えられた5つの微分方程式を、それぞれ初期条件のもとで解く問題です。 (1) $x'(t) + x(t) = 4te^t, x(0) = 1$ (2) $x'(t) + 3x(t) = 2\sin(3t), x(0) = 1$ (3) $x''(t) - x'(t) - 6x(t) = 0, x(0) = 1, x'(0) = 1$ (4) $x''(t) - 3x'(t) + 2x(t) = e^t, x(0) = 0, x'(0) = 0$ (5) $x''(t) - 4x'(t) + 4x(t) = 2e^{2t}, x(0) = 0, x'(0) = 1$

1. 問題の内容

与えられた5つの微分方程式を、それぞれ初期条件のもとで解く問題です。

(1) $x'(t) + x(t) = 4te^t, x(0) = 1$

(2) $x'(t) + 3x(t) = 2\sin(3t), x(0) = 1$

(3) $x''(t) - x'(t) - 6x(t) = 0, x(0) = 1, x'(0) = 1$

(4) $x''(t) - 3x'(t) + 2x(t) = e^t, x(0) = 0, x'(0) = 0$

(5) $x''(t) - 4x'(t) + 4x(t) = 2e^{2t}, x(0) = 0, x'(0) = 1$

2. 解き方の手順

各方程式ごとに解法を説明します。

(1) 1階線形微分方程式

$x'(t) + x(t) = 4te^t$

まず、積分因子を求めます。積分因子は $e^{\int 1 dt} = e^t$ です。

両辺に $e^t$ をかけると、

$e^t x'(t) + e^t x(t) = 4te^{2t}$

$\frac{d}{dt}(e^t x(t)) = 4te^{2t}$

両辺を積分すると、

$e^t x(t) = \int 4te^{2t} dt = 2te^{2t} - \int 2e^{2t} dt = 2te^{2t} - e^{2t} + C$

$x(t) = 2te^t - e^t + Ce^{-t}$

初期条件 $x(0) = 1$ を代入すると、

$1 = 0 - 1 + C \Rightarrow C = 2$

したがって、

$x(t) = 2te^t - e^t + 2e^{-t}$

(2) 1階線形微分方程式

$x'(t) + 3x(t) = 2\sin(3t)$

積分因子は $e^{\int 3 dt} = e^{3t}$ です。

両辺に $e^{3t}$ をかけると、

$e^{3t}x'(t) + 3e^{3t}x(t) = 2e^{3t}\sin(3t)$

$\frac{d}{dt}(e^{3t}x(t)) = 2e^{3t}\sin(3t)$

両辺を積分すると、

$e^{3t}x(t) = \int 2e^{3t}\sin(3t) dt$

ここで部分積分を用いて、$\int e^{3t} \sin(3t) dt = \frac{1}{6}e^{3t}(\sin(3t)-\cos(3t))+C_1$なので

$e^{3t}x(t) = \frac{2}{6}e^{3t}(\sin(3t)-\cos(3t)) + C = \frac{1}{3}e^{3t}(\sin(3t)-\cos(3t)) + C$

$x(t) = \frac{1}{3}(\sin(3t)-\cos(3t)) + Ce^{-3t}$

初期条件 $x(0) = 1$ を代入すると、

$1 = \frac{1}{3}(0-1) + C \Rightarrow 1 = -\frac{1}{3} + C \Rightarrow C = \frac{4}{3}$

したがって、

$x(t) = \frac{1}{3}(\sin(3t)-\cos(3t)) + \frac{4}{3}e^{-3t}$

(3) 2階線形同次微分方程式

$x''(t) - x'(t) - 6x(t) = 0$

特性方程式は $r^2 - r - 6 = 0$

$(r-3)(r+2) = 0$

$r = 3, -2$

一般解は $x(t) = c_1 e^{3t} + c_2 e^{-2t}$

$x'(t) = 3c_1 e^{3t} - 2c_2 e^{-2t}$

初期条件 $x(0) = 1, x'(0) = 1$ を代入すると、

$1 = c_1 + c_2$

$1 = 3c_1 - 2c_2$

$2 = 2c_1 + 2c_2$

$3 = 3c_1 - 2c_2$

$5 = 5c_1 \Rightarrow c_1 = 1$

$c_2 = 1 - c_1 = 1 - 1 = 0$

したがって、

$x(t) = e^{3t}$

(4) 2階線形非同次微分方程式

$x''(t) - 3x'(t) + 2x(t) = e^t$

特性方程式は $r^2 - 3r + 2 = 0$

$(r-1)(r-2) = 0$

$r = 1, 2$

同次方程式の一般解は $x_h(t) = c_1 e^t + c_2 e^{2t}$

特解を $x_p(t) = Ate^t$ と仮定します。

$x_p'(t) = Ae^t + Ate^t$

$x_p''(t) = Ae^t + Ae^t + Ate^t = 2Ae^t + Ate^t$

代入すると、

$2Ae^t + Ate^t - 3(Ae^t + Ate^t) + 2Ate^t = e^t$

$2A - 3A = 1 \Rightarrow -A = 1 \Rightarrow A = -1$

$x_p(t) = -te^t$

一般解は $x(t) = c_1 e^t + c_2 e^{2t} - te^t$

$x'(t) = c_1 e^t + 2c_2 e^{2t} - e^t - te^t$

初期条件 $x(0) = 0, x'(0) = 0$ を代入すると、

$0 = c_1 + c_2$

$0 = c_1 + 2c_2 - 1$

$c_1 = -c_2$

$0 = -c_2 + 2c_2 - 1 \Rightarrow c_2 = 1$

$c_1 = -1$

したがって、

$x(t) = -e^t + e^{2t} - te^t$

(5) 2階線形非同次微分方程式

$x''(t) - 4x'(t) + 4x(t) = 2e^{2t}$

特性方程式は $r^2 - 4r + 4 = 0$

$(r-2)^2 = 0$

$r = 2, 2$ (重根)

同次方程式の一般解は $x_h(t) = c_1 e^{2t} + c_2 te^{2t}$

特解を $x_p(t) = At^2e^{2t}$ と仮定します。

$x_p'(t) = 2Ate^{2t} + 2At^2e^{2t}$

$x_p''(t) = 2Ae^{2t} + 4Ate^{2t} + 4Ate^{2t} + 4At^2e^{2t} = 2Ae^{2t} + 8Ate^{2t} + 4At^2e^{2t}$

代入すると、

$2Ae^{2t} + 8Ate^{2t} + 4At^2e^{2t} - 4(2Ate^{2t} + 2At^2e^{2t}) + 4At^2e^{2t} = 2e^{2t}$

$2Ae^{2t} = 2e^{2t} \Rightarrow 2A = 2 \Rightarrow A = 1$

$x_p(t) = t^2e^{2t}$

一般解は $x(t) = c_1 e^{2t} + c_2 te^{2t} + t^2e^{2t}$

$x'(t) = 2c_1 e^{2t} + c_2 e^{2t} + 2c_2 te^{2t} + 2te^{2t} + 2t^2e^{2t}$

初期条件 $x(0) = 0, x'(0) = 1$ を代入すると、

$0 = c_1$

$1 = 2c_1 + c_2 \Rightarrow 1 = c_2$

したがって、

$x(t) = te^{2t} + t^2e^{2t}$

3. 最終的な答え

(1) $x(t) = 2te^t - e^t + 2e^{-t}$

(2) $x(t) = \frac{1}{3}(\sin(3t)-\cos(3t)) + \frac{4}{3}e^{-3t}$

(3) $x(t) = e^{3t}$

(4) $x(t) = -e^t + e^{2t} - te^t$

(5) $x(t) = te^{2t} + t^2e^{2t}$