関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ の極小値を求め、極小値をとる $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ の極小値を求め、極小値をとる $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

$f'(x)$ の符号の変化を調べる。

- $x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$

- $0 < x < 2$ のとき、$f'(x) < 0$

- $x > 2$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = 0$ で極大、$x = 2$ で極小となる。

極小値を求めるために、$x = 2$ を $f(x)$ に代入する。

$f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2$

$f(2) = 8 - 12 + 2$

$f(2) = -2$

3. 最終的な答え

極小値は $-2$ であり、極小値をとる $x$ の値は $2$ である。