3次式 $4x^3 + x + 1$ を有理数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

3次式 $4x^3 + x + 1$ を有理数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

因数定理を利用する。

$P(x) = 4x^3 + x + 1$ とおく。

有理数解の候補は $\pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$である。

$P(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^3 + (-\frac{1}{2}) + 1 = 4(-\frac{1}{8}) - \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = -1 + 1 = 0$

よって、$P(x)$ は $x + \frac{1}{2}$ を因数に持つ。これは、$2x + 1$を因数に持つことと同値である。

$4x^3 + x + 1$ を $2x + 1$ で割る。

```

2x^2 - x + 1

2x+1 | 4x^3 + 0x^2 + x + 1

-(4x^3 + 2x^2)

-----------------

-2x^2 + x

-(-2x^2 - x)

-----------------

2x + 1

-(2x + 1)

-----------------

0

```

したがって、

$4x^3 + x + 1 = (2x + 1)(2x^2 - x + 1)$

判別式 $D = (-1)^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0$であるから、$2x^2 - x + 1$は実数の範囲でもこれ以上因数分解できない。特に有理数の範囲では因数分解できない。

3. 最終的な答え

$4x^3 + x + 1 = (2x + 1)(2x^2 - x + 1)$