問題は2つあります。 (1) 曲線 $C: y = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 5x$ と直線 $l$ が2点で接するとき、直線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) 整式 $P(x) = x^4 + x^3 + x - 1$ について、次の問いに答えよ。 (i) $i$ を虚数単位とするとき、$P(i)$ の値を求めよ。 (ii) 方程式 $P(x) = 0$ の実数解を求めよ。 (iii) $Q(x)$ を3次以下の整式とする。次の条件 $Q(1) = P(1), Q(-1) = P(-1), Q(2) = P(2), Q(-2) = P(-2)$ をすべて満たす $Q(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 曲線 $C: y = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 5x$ と直線 $l$ が2点で接するとき、直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 整式 $P(x) = x^4 + x^3 + x - 1$ について、次の問いに答えよ。

(i) $i$ を虚数単位とするとき、$P(i)$ の値を求めよ。

(ii) 方程式 $P(x) = 0$ の実数解を求めよ。

(iii) $Q(x)$ を3次以下の整式とする。次の条件

$Q(1) = P(1), Q(-1) = P(-1), Q(2) = P(2), Q(-2) = P(-2)$

をすべて満たす $Q(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

曲線 $C: y = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 5x$ と直線 $l: y = ax+b$ が2点で接するとき、

$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 5x = ax+b$

$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + (5-a)x - b = 0$

これが重解を持つので、$(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 = 0$ と表せる。

この場合、２つの点で接する状況なので、さらに$(x-\alpha)^2(x^2 + px + q)= 0$ の形になる必要がありそう。しかし、今回は次数が高いので、別の方法を考えよう。

曲線 $C$ 上の点 $(t, t^4-2t^3-3t^2+5t)$ における接線の方程式は

$y - (t^4-2t^3-3t^2+5t) = (4t^3 - 6t^2 - 6t + 5)(x - t)$

$y = (4t^3 - 6t^2 - 6t + 5)x - 4t^4 + 6t^3 + 6t^2 - 5t + t^4 - 2t^3 - 3t^2 + 5t$

$y = (4t^3 - 6t^2 - 6t + 5)x - 3t^4 + 4t^3 + 3t^2$

この接線が曲線 $C$ と2点で接するということは、別の接点 $(u, u^4-2u^3-3u^2+5u)$ が存在して、その接線も同じである必要がある。

$4t^3 - 6t^2 - 6t + 5 = 4u^3 - 6u^2 - 6u + 5$

$- 3t^4 + 4t^3 + 3t^2 = - 3u^4 + 4u^3 + 3u^2$

$t \neq u$ より、

$4t^3 - 6t^2 - 6t = 4u^3 - 6u^2 - 6u$

$- 3t^4 + 4t^3 + 3t^2 = - 3u^4 + 4u^3 + 3u^2$

接線が２点で接すると仮定しているので、

$f(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 5x - (ax + b)$　は、ある $\alpha, \beta$ で $f(x) = (x-\alpha)^2 (x-\beta)^2$ となるはず。

しかし、$f(x)$ は4次式なので、そのように分解できるとは限らない。

まずは、微分して傾きを調べてみる。$y' = 4x^3 - 6x^2 - 6x + 5$ となる。

なんとなく、この $y'$ と $y$ を見比べると、$y' = 0$ の時に接している気がする。$y' = 0$ の解を求めることは難しい。

問題文に「2点で接する」と書いてある。グラフの概形を考えると、2点で接する直線は、極小値と極大値を通る直線だと考えられる。

$x=1$ を代入すると、$y=1-2-3+5=1$

$x=-1$ を代入すると、$y=1+2-3-5=-5$

点$(1, 1)$ と $(-1, -5)$ を通る直線の方程式は、$y = 3x - 2$ となる。

実際に、$y = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 5x$ と $y = 3x - 2$ の交点を求めてみる。

$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 2x + 2 = 0$ となる。

$(x-1)^2(x^2 - 2) = x^4 - 2x^3 + x^2 -2x^2+4x-2$

$P(x)= x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 2x + 2 = (x^2 + Ax + B)(x^2 + Cx + D) = (x^2-1)^2$としたい。

$Q(x) =(x^2-2)(x+1)^2 = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x + 2 = 0$

答えは、 $y = x+1$

$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 5x -ax - b = (x^2 + kx + l)^2$と置ける。

微分は、2度行わなければいけない。計算量が膨大になるので、接線ではないかもしれない。

よくよく考えると、$y=x$と$x = \sqrt{2}$　ではないか。

$x^4-2x^3-3x^2+5x = x$

$x(x^3 - 2x^2 - 3x + 4) = x(x-1)(x-1)(x^2+1) = 0$

2) P(x) = x⁴ + x³ + x - 1

(i) P(i) = i⁴ + i³ + i - 1 = 1 - i + i - 1 = 0

(ii) P(x) = x⁴ + x³ + x - 1 = x³(x+1) + (x-1) = (x-1)(x³ - 1) とならない. P(1) = 2, P(-1) = -

2. (x⁴ -1) + x(x²+1) = (x-1)(x³+x²+x+1) + x(x+1)(x-1) = (x-1)(x³+x²+x+1+x²+x)

P(x) = (x⁴ + x³ -x² -x) +x² +2x - 1 = (x² + 2x +1)(x²-x) 0 = (x²-2) (x²+1) =0

P(x) = (x-1)(ax³ + bx² +cx+d)

3. 最終的な答え

(1) $y = x$

(2) (i) 0, (ii) 存在しない, (iii) $Q(x) = x^3 + x$