与えられた2つの不定積分を計算する問題です。 a) $\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ b) $\int \frac{1}{1+\cos x} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算する問題です。

a) $\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$

b) $\int \frac{1}{1+\cos x} dx$

2. 解き方の手順

a)の場合：

分母を$u=1+\sin x$とおくと、$du = \cos x dx$となります。したがって、積分は

$\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |1+\sin x| + C$

となります。$1+\sin x$ は常に正なので、絶対値を外すことができます。

$\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx = \ln (1+\sin x) + C$

b)の場合：

半角の公式 $\cos^2 (\frac{x}{2}) = \frac{1+\cos x}{2}$を利用します。したがって、$1+\cos x = 2\cos^2 (\frac{x}{2})$となります。積分は

$\int \frac{1}{1+\cos x} dx = \int \frac{1}{2\cos^2 (\frac{x}{2})} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 (\frac{x}{2}) dx$

ここで、$u = \frac{x}{2}$とおくと、$du = \frac{1}{2} dx$より、$dx = 2 du$となります。したがって、積分は

$\frac{1}{2} \int \sec^2 (\frac{x}{2}) dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 u \cdot 2 du = \int \sec^2 u du = \tan u + C = \tan (\frac{x}{2}) + C$

3. 最終的な答え

a) $\ln (1+\sin x) + C$

b) $\tan (\frac{x}{2}) + C$