関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用います。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が $y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = x-1$、$v(x) = x^3+1$ となります。

それぞれの微分は、

$u'(x) = 1$

$v'(x) = 3x^2$

となります。

したがって、$y'$ は次のようになります。

$y' = \frac{1 \cdot (x^3+1) - (x-1) \cdot 3x^2}{(x^3+1)^2}$

これを整理すると、

$y' = \frac{x^3+1 - 3x^3+3x^2}{(x^3+1)^2}$

$y' = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3+1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3+1)^2}$