関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数を微分するために、商の微分法を用いることができます。ただし、$1/(x^2-1)$ は $(x^2-1)^{-1}$ と表せるので、合成関数の微分として計算することもできます。

今回は、より直接的な商の微分法を用いる方法で解きます。

商の微分法は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が次の式で与えられるというものです。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$$

この問題では、$u(x) = 1$、$v(x) = x^2 - 1$ です。

それぞれの微分は、

$u'(x) = 0$

$v'(x) = 2x$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{0 \cdot (x^2 - 1) - 1 \cdot (2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}$