関数 $y = \frac{1}{x^3 + 2x + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^3 + 2x + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は、$y = \frac{1}{f(x)}$ の形をしているので、合成関数の微分または商の微分を利用できます。

ここでは、$f(x) = x^3 + 2x + 1$ とおきます。

まず、$y = \frac{1}{f(x)}$ を $f(x)$ で微分すると、

$\frac{dy}{df} = -\frac{1}{(f(x))^2}$ となります。

次に、$f(x) = x^3 + 2x + 1$ を $x$ で微分すると、

$\frac{df}{dx} = 3x^2 + 2$ となります。

合成関数の微分より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{df} \cdot \frac{df}{dx}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x^3 + 2x + 1)^2} \cdot (3x^2 + 2)$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 2}{(x^3 + 2x + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 2}{(x^3 + 2x + 1)^2}$