関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は分数の形をしているので、商の微分公式を使います。

商の微分公式は、$y = \frac{u}{v}$のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$です。

この問題では、$u = x-1$、 $v = x^3 + 1$とします。

それぞれの微分は、

$u' = 1$

$v' = 3x^2$

となります。

これらの値を商の微分公式に代入すると、

$y' = \frac{1 \cdot (x^3 + 1) - (x-1) \cdot 3x^2}{(x^3+1)^2}$

$y' = \frac{x^3 + 1 - (3x^3 - 3x^2)}{(x^3+1)^2}$

$y' = \frac{x^3 + 1 - 3x^3 + 3x^2}{(x^3+1)^2}$

$y' = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3+1)^2}$

さらに、$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)$であることと、$x=1$が$-2x^3 + 3x^2 + 1 = 0$の解ではないことから、これ以上簡単にはなりません。

3. 最終的な答え

$\frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3+1)^2}$