関数 $y = (3x^2 + 2)(x^2 - 4x + 6)$ を微分した $y'$ を求める問題です。

解析学微分積の微分関数
2025/7/31

1. 問題の内容

関数 y=(3x2+2)(x24x+6)y = (3x^2 + 2)(x^2 - 4x + 6) を微分した yy' を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式 (uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv' を用いて微分します。
まず、u=3x2+2u = 3x^2 + 2v=x24x+6v = x^2 - 4x + 6 とおきます。
u=ddx(3x2+2)=6xu' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 2) = 6x
v=ddx(x24x+6)=2x4v' = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 6) = 2x - 4
積の微分公式より、
y=uv+uv=(6x)(x24x+6)+(3x2+2)(2x4)y' = u'v + uv' = (6x)(x^2 - 4x + 6) + (3x^2 + 2)(2x - 4)
展開して整理します。
y=6x324x2+36x+(6x312x2+4x8)y' = 6x^3 - 24x^2 + 36x + (6x^3 - 12x^2 + 4x - 8)
y=6x324x2+36x+6x312x2+4x8y' = 6x^3 - 24x^2 + 36x + 6x^3 - 12x^2 + 4x - 8
y=(6x3+6x3)+(24x212x2)+(36x+4x)8y' = (6x^3 + 6x^3) + (-24x^2 - 12x^2) + (36x + 4x) - 8
y=12x336x2+40x8y' = 12x^3 - 36x^2 + 40x - 8

3. 最終的な答え

y=12x336x2+40x8y' = 12x^3 - 36x^2 + 40x - 8
選択肢3が正解です。

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