関数 $y = (x^3 - 3x^2 + 5)(2x + 1)$ を微分せよ。

解析学微分積の微分多項式
2025/7/31

1. 問題の内容

関数 y=(x33x2+5)(2x+1)y = (x^3 - 3x^2 + 5)(2x + 1) を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 (uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv' を用いて微分します。
ここで、u=x33x2+5u = x^3 - 3x^2 + 5v=2x+1v = 2x + 1 とおきます。
まず、uuxx で微分します。
u=ddx(x33x2+5)=3x26xu' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 5) = 3x^2 - 6x
次に、vvxx で微分します。
v=ddx(2x+1)=2v' = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2
積の微分公式に代入します。
y=uv+uv=(3x26x)(2x+1)+(x33x2+5)(2)y' = u'v + uv' = (3x^2 - 6x)(2x + 1) + (x^3 - 3x^2 + 5)(2)
これを展開して整理します。
y=6x3+3x212x26x+2x36x2+10y' = 6x^3 + 3x^2 - 12x^2 - 6x + 2x^3 - 6x^2 + 10
y=(6x3+2x3)+(3x212x26x2)6x+10y' = (6x^3 + 2x^3) + (3x^2 - 12x^2 - 6x^2) - 6x + 10
y=8x315x26x+10y' = 8x^3 - 15x^2 - 6x + 10

3. 最終的な答え

y=8x315x26x+10y' = 8x^3 - 15x^2 - 6x + 10

「解析学」の関連問題

与えられた級数 $S$ の和を求める問題です。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{...

級数等比数列無限級数
2025/8/1

関数 $y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{4x}$ ($1 \leq x \leq 2$) の曲線長 $l$ を求める問題です。$l$ は $\frac{(\text{ア})}...

曲線長積分微分
2025/8/1

極座標で表された曲線 $r = 2 + \cos \theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求める問題です。

極座標面積積分
2025/8/1

曲線 $y = \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) と $x=0$, $x=2\pi$, $x$軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

積分面積三角関数
2025/8/1

関数 $y = 2\cos{\theta}$ のグラフを描き、その周期を求めよ。

三角関数グラフ周期コサイン関数
2025/8/1

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、以下の2つの式の値を求めよ。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin...

三角関数恒等式式の計算
2025/8/1

(1) 曲線 $y = x^2 - 2x$ 上の点 (3, 3) における接線の方程式を求める。 (2) 曲線 $y = x^2 - 3x + 1$ 上の点 $(a, a^2 - 3a + 1)$ に...

微分接線曲線
2025/8/1

関数 $y = 3\sin\theta - 2\cos\theta$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $y = r\sin(\theta + \alpha)$ (ただし、$r > 0$...

三角関数の合成最大値最小値三角関数
2025/8/1

定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} dx$ を計算します。

定積分積分arctan三角関数
2025/8/1

与えられた4つの定積分を計算します。 (1) $\int_1^2 2x(x^2+1)^3 dx$ (2) $\int_1^2 \frac{x^2-2x}{x^3-3x^2+1}dx$ (3) $\in...

定積分置換積分
2025/8/1