関数 $y = (x^3 + 1)(x-1)(x^2 + x - 2)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^3 + 1)(x-1)(x^2 + x - 2)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を因数分解します。

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

したがって、

$y = (x+1)(x^2 - x + 1)(x-1)(x+2)(x-1)$

$y = (x+1)(x-1)(x-1)(x+2)(x^2 - x + 1)$

$y = (x+1)(x+2)(x-1)^2(x^2-x+1)$

$y = (x^2+3x+2)(x^2-2x+1)(x^2-x+1)$

より簡単に計算するために、$y$を展開します。

$y = (x^2 + 3x + 2)(x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1)$

$y = x^6 - 3x^5 + 4x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x^5 - 9x^4 + 12x^3 - 9x^2 + 3x + 2x^4 - 6x^3 + 8x^2 - 6x + 2$

$y = x^6 + (-3+3)x^5 + (4-9+2)x^4 + (-3+12-6)x^3 + (1-9+8)x^2 + (3-6)x + 2$

$y = x^6 - 3x^4 + 3x^3 - 3x + 2$

次に、$y$を$x$について微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^6 - 3x^4 + 3x^3 - 3x + 2)$

$\frac{dy}{dx} = 6x^5 - 12x^3 + 9x^2 - 3$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 6x^5 - 12x^3 + 9x^2 - 3$