関数 $f(x) = -2x^3 + x^2 + 4x$ の極大値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^3 + x^2 + 4x$ の極大値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -6x^2 + 2x + 4$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは、$f(x)$ の極値をとる点の候補です。

$-6x^2 + 2x + 4 = 0$

両辺を -2 で割ります。

$3x^2 - x - 2 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解を使うと、次のようになります。

$(3x + 2)(x - 1) = 0$

したがって、$x = -\frac{2}{3}$ または $x = 1$ です。

次に、$x = -\frac{2}{3}$ と $x = 1$ のそれぞれについて、$f''(x)$ を計算し、極大値を与える $x$ の値を特定します。$f''(x)$ は、$f'(x)$ の導関数です。

$f''(x) = -12x + 2$

$x = -\frac{2}{3}$ のとき、$f''(-\frac{2}{3}) = -12(-\frac{2}{3}) + 2 = 8 + 2 = 10 > 0$ なので、$x = -\frac{2}{3}$ で極小値をとります。

$x = 1$ のとき、$f''(1) = -12(1) + 2 = -10 < 0$ なので、$x = 1$ で極大値をとります。

最後に、$f(1)$ を計算して、極大値を求めます。

$f(1) = -2(1)^3 + (1)^2 + 4(1) = -2 + 1 + 4 = 3$

3. 最終的な答え

関数の極大値は3です。