関数 $f(x) = x^3 - x^2 + 1$ の極大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - x^2 + 1$ の極大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 2x$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 2x = 0$

$x(3x - 2) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = \frac{2}{3}$

(3) 第二次導関数 $f''(x)$ を求める。

$f''(x) = 6x - 2$

(4) $x = 0$ と $x = \frac{2}{3}$ における $f''(x)$ の値を計算し、極大となる $x$ を特定する。

$f''(0) = 6(0) - 2 = -2 < 0$

$f''(\frac{2}{3}) = 6(\frac{2}{3}) - 2 = 4 - 2 = 2 > 0$

$f''(0) < 0$ であるから、$x = 0$ で極大となる。

(5) $x = 0$ における $f(x)$ の値を計算する。

$f(0) = (0)^3 - (0)^2 + 1 = 1$

3. 最終的な答え

極大値は1