2次関数 $y = x^2 - 6x - 2$ の $a \le x \le a+1$ における最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 6x - 2$ の $a \le x \le a+1$ における最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 6x - 2 = (x - 3)^2 - 9 - 2 = (x - 3)^2 - 11$

このことから、この2次関数の頂点は $(3, -11)$ であることがわかる。

次に、定義域 $a \le x \le a+1$ と軸 $x = 3$ の位置関係によって場合分けをする。

(i) $a + 1 < 3$ すなわち $a < 2$ のとき、

定義域内で関数は減少するため、最小値は $x = a + 1$ のときにとる。

最小値は

$y = (a + 1)^2 - 6(a + 1) - 2 = a^2 + 2a + 1 - 6a - 6 - 2 = a^2 - 4a - 7$

(ii) $a \le 3 \le a + 1$ すなわち $2 \le a \le 3$ のとき、

定義域内に頂点が含まれるため、最小値は $x = 3$ のときにとる。

最小値は $y = -11$

(iii) $a > 3$ のとき、

定義域内で関数は増加するため、最小値は $x = a$ のときにとる。

最小値は

$y = a^2 - 6a - 2$

以上をまとめると、

* $a < 2$ のとき、最小値は $a^2 - 4a - 7$

* $2 \le a \le 3$ のとき、最小値は $-11$

* $a > 3$ のとき、最小値は $a^2 - 6a - 2$

3. 最終的な答え

$$

\begin{cases}

a^2 - 4a - 7 & (a < 2) \\

-11 & (2 \le a \le 3) \\

a^2 - 6a - 2 & (a > 3)

\end{cases}

$$