3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ とすると、$f(x) = a$ となります。

3次関数 $y = f(x)$ のグラフを描き、$y = a$ との交点が3つとなるような $a$ の範囲を求めればよいです。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 2, -1$ のときです。

したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で極大値、 $x = 2$ で極小値を取ります。

$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$

$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20$

$f(x) = a$ が異なる3つの実数解を持つためには、

極大値と極小値の間に $a$ が存在する必要があります。

つまり、$f(2) < a < f(-1)$ となる必要があります。

したがって、$-20 < a < 7$ となります。

3. 最終的な答え

$-20 < a < 7$