3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^3 - 6x + 3$ を定義します。

この関数の導関数を求め、増減を調べます。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ と $x = \sqrt{2}$ は極値を与える点です。

次に、これらの点での $f(x)$ の値を計算します。

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 3 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 3 = 4\sqrt{2} + 3$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 3 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3 = -4\sqrt{2} + 3$

$4\sqrt{2} + 3 > 0$

$-4\sqrt{2} + 3 < 0$

したがって、$f(x)$ は $x < -\sqrt{2}$ で増加、$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ で減少し、$x > \sqrt{2}$ で増加します。

極大値 $f(-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} + 3 > 0$、極小値 $f(\sqrt{2}) = -4\sqrt{2} + 3 < 0$ です。

したがって、$f(x)=0$となる実数解は3個存在します。

3. 最終的な答え

3個