$f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ を $$ f\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x_1 + x_2 + 3x_3 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \end{array}\right) $$ と定義する。このとき、$f$ が線形写像であること、$f$ の像 $\text{Im } f$ が $\mathbb{R}^2$ の部分空間であることを示し、$\text{Im } f$ の次元と基底を求める。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ を

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f\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x_1 + x_2 + 3x_3 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \end{array}\right)

$$$$

と定義する。このとき、$f$ が線形写像であること、$f$ の像 $\text{Im } f$ が $\mathbb{R}^2$ の部分空間であることを示し、$\text{Im } f$ の次元と基底を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f$ が線形写像であることの証明:

線形写像であるためには、以下の2つの条件を満たす必要がある。

(i) 任意の $x, y \in \mathbb{R}^3$ に対して、$f(x + y) = f(x) + f(y)$

(ii) 任意の $x \in \mathbb{R}^3$, $c \in \mathbb{R}$ に対して、$f(cx) = cf(x)$

$x = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right), y = \left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array}\right)$ とする。

(i)

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\begin{aligned}

f(x + y) &= f\left(\begin{array}{c} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_3 + y_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + 3(x_3 + y_3) \\ 2(x_1 + y_1) + 3(x_2 + y_2) + 4(x_3 + y_3) \end{array}\right) \\

&= \left(\begin{array}{c} x_1 + x_2 + 3x_3 + y_1 + y_2 + 3y_3 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 2y_1 + 3y_2 + 4y_3 \end{array}\right) \\

&= \left(\begin{array}{c} x_1 + x_2 + 3x_3 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} y_1 + y_2 + 3y_3 \\ 2y_1 + 3y_2 + 4y_3 \end{array}\right) \\

&= f(x) + f(y)

\end{aligned}

$$$$

(ii)

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\begin{aligned}

f(cx) &= f\left(\begin{array}{c} cx_1 \\ cx_2 \\ cx_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} cx_1 + cx_2 + 3cx_3 \\ 2cx_1 + 3cx_2 + 4cx_3 \end{array}\right) \\

&= \left(\begin{array}{c} c(x_1 + x_2 + 3x_3) \\ c(2x_1 + 3x_2 + 4x_3) \end{array}\right) \\

&= c \left(\begin{array}{c} x_1 + x_2 + 3x_3 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \end{array}\right) \\

&= cf(x)

\end{aligned}

$$$$

よって、$f$ は線形写像である。

(2) $\text{Im } f$ が $\mathbb{R}^2$ の部分空間であることの証明:

$\text{Im } f$ は $f$ の像なので、$\text{Im } f = \{f(x) \mid x \in \mathbb{R}^3\}$ である。$\text{Im } f$ が $\mathbb{R}^2$ の部分空間であることを示すためには、以下の3つの条件を満たす必要がある。

(i) $0 \in \text{Im } f$

(ii) 任意の $u, v \in \text{Im } f$ に対して、$u + v \in \text{Im } f$

(iii) 任意の $u \in \text{Im } f$, $c \in \mathbb{R}$ に対して、$cu \in \text{Im } f$

(i) $x = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ とすると、$f(x) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)$ より、$0 \in \text{Im } f$

(ii) $u, v \in \text{Im } f$ とする。このとき、$u = f(x), v = f(y)$ となる $x, y \in \mathbb{R}^3$ が存在する。

$u + v = f(x) + f(y) = f(x + y)$ であり、$x + y \in \mathbb{R}^3$ なので、$u + v \in \text{Im } f$

(iii) $u \in \text{Im } f$, $c \in \mathbb{R}$ とする。このとき、$u = f(x)$ となる $x \in \mathbb{R}^3$ が存在する。

$cu = cf(x) = f(cx)$ であり、$cx \in \mathbb{R}^3$ なので、$cu \in \text{Im } f$

よって、$\text{Im } f$ は $\mathbb{R}^2$ の部分空間である。

(3) $\text{Im } f$ の次元と基底を求める:

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f\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = x_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) + x_2 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right) + x_3 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right)

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より、$\text{Im } f$ は $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$ で生成される。

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)$ は一次独立なので、$\text{Im } f = \mathbb{R}^2$ となる。

$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right) = a\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) + b\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)$とすると、$a+b = 3, 2a+3b = 4$ となり、$a=5, b=-2$. よって、$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$は $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)$の一次結合で表せる。

したがって、$\text{Im } f$ の次元は2であり、基底は例えば$\left\{ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right) \right\}$である。

基底として、$\left\{ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) \right\}$をとることもできる。

3. 最終的な答え

$f$ は線形写像であり、$\text{Im } f$ は $\mathbb{R}^2$ の部分空間である。

$\text{Im } f$ の次元は2であり、基底の一例は$\left\{ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right) \right\}$である。

$\text{Im } f$ の次元は2であり、基底の一例は$\left\{ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) \right\}$である。