関数 $f(x) = \frac{3x + 2}{x + a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = f(x)$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x + 2}{x + a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = f(x)$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $f(f(x))$ を計算します。

$f(f(x)) = f\left(\frac{3x+2}{x+a}\right)$

$= \frac{3\left(\frac{3x+2}{x+a}\right) + 2}{\left(\frac{3x+2}{x+a}\right) + a}$

$= \frac{3(3x+2) + 2(x+a)}{3x+2 + a(x+a)}$

$= \frac{9x + 6 + 2x + 2a}{3x + 2 + ax + a^2}$

$= \frac{11x + 6 + 2a}{(3+a)x + 2 + a^2}$

次に、 $(f \circ f)(x) = f(x)$ より、

$\frac{11x + 6 + 2a}{(3+a)x + 2 + a^2} = \frac{3x+2}{x+a}$

この式がすべての $x$ について成り立つためには、分子と分母の比が等しくなければなりません。

つまり、ある定数 $k$ が存在して、

$11x + 6 + 2a = k(3x + 2)$

$(3+a)x + 2 + a^2 = k(x+a)$

これらの式から$x$の係数と定数項を比較すると、

$11 = 3k$ -> $k = \frac{11}{3}$

$6 + 2a = 2k$

これらを連立して解きます。

$6 + 2a = 2 \cdot \frac{11}{3}$

$6 + 2a = \frac{22}{3}$

$18 + 6a = 22$

$6a = 4$

$a = \frac{2}{3}$

同様に、分母について

$3+a = k$

$2+a^2 = ka$

$k=3+a = 3+\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$

$2+a^2 = ka$ に代入して確認します。

$2+(\frac{2}{3})^2 = \frac{11}{3} * \frac{2}{3}$

$2+\frac{4}{9} = \frac{22}{9}$

$\frac{18+4}{9} = \frac{22}{9}$

$\frac{22}{9} = \frac{22}{9}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}$