4次方程式 $x^4 - 8x^2 + k = 0$ が異なる4つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 - 8x^2 + k = 0$ が異なる4つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = t$ とおきます。すると、与えられた方程式は

$t^2 - 8t + k = 0$

となります。

この $t$ の2次方程式が2つの異なる正の実数解を持つとき、もとの $x$ の4次方程式は異なる4つの実数解を持ちます。

$t$ の2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ です。

$D = (-8)^2 - 4(1)(k) = 64 - 4k$

$64 - 4k > 0$ より、

$4k < 64$

$k < 16$

次に、$t$ の2つの解がともに正である条件を考えます。$t$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 8$

$\alpha \beta = k$

解がともに正であるためには、$\alpha + \beta > 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ が必要です。

$\alpha + \beta = 8 > 0$ は常に満たされています。

$\alpha \beta = k > 0$

したがって、$t$ の2次方程式が異なる2つの正の実数解を持つためには、

$0 < k < 16$

である必要があります。

3. 最終的な答え

$0 < k < 16$