与えられた4次方程式 $-3x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 15 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $-3x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 15 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、方程式を整理します。

$-3x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 15 = 0$

両辺に $-1$ を掛けて

$3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 15 = 0$

次に、関数 $f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 15$ を考え、その増減を調べます。

導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2 + x - 2) = 12x(x+2)(x-1)$

$f'(x)=0$ となるのは $x=0, x=-2, x=1$ のときです。

これらの値で $f(x)$ の増減表を作成します。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :---- | :---- | :-- | :---- | :- | :---- | :- | :---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↓ | 極小 | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$f(-2) = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 - 12(-2)^2 + 15 = 3(16) + 4(-8) - 12(4) + 15 = 48 - 32 - 48 + 15 = -17$

$f(0) = 3(0)^4 + 4(0)^3 - 12(0)^2 + 15 = 15$

$f(1) = 3(1)^4 + 4(1)^3 - 12(1)^2 + 15 = 3 + 4 - 12 + 15 = 10$

$x = -2$ で極小値 $-17$ をとり、$x = 0$ で極大値 $15$ をとり、$x = 1$ で極小値 $10$ をとります。

$f(x)$ は $x \to \pm \infty$ で $\infty$ に発散します。

$f(x) = 0$ となる実数解の個数は、増減表から $f(x)$ のグラフがx軸と交わる回数を数えることでわかります。

$f(-2) = -17 < 0$, $f(0) = 15 > 0$, $f(1) = 10 > 0$ より、$-2$ より小さい範囲に解が1つ、$-2 < x < 0$ に解が1つあります。また、$x > 1$ の範囲には解はありません。よって実数解の個数は2個です。

3. 最終的な答え

異なる実数解の個数は2個です。