与えられた複数の数学の問題を解き、空欄を埋める。問題は二次関数、三角関数、扇形、関数の周期、三角方程式、三角比など多岐にわたる。

1. 問題の内容

与えられた複数の数学の問題を解き、空欄を埋める。問題は二次関数、三角関数、扇形、関数の周期、三角方程式、三角比など多岐にわたる。

2. 解き方の手順

一つずつ順番に問題を解いていく。

6. (1) $y = -3x^2 + 4x + 1$ を平方完成する。

$y = -3(x^2 - \frac{4}{3}x) + 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{7}{3}$

頂点の座標は $(\frac{2}{3}, \frac{7}{3})$。

6. (2) 頂点が (2, 1) なので、$y = a(x - 2)^2 + 1$ と表せる。点 (0, 3) を通るので、

$3 = a(0 - 2)^2 + 1 \implies 3 = 4a + 1 \implies 4a = 2 \implies a = \frac{1}{2}$

よって、$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1 = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) + 1 = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 + 1 = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$

6. (3) $y = -x^2 + 5x - \frac{1}{4}$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 5x) - \frac{1}{4} = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - \frac{1}{4} = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{24}{4} = -(x - \frac{5}{2})^2 + 6$

頂点の座標は $(\frac{5}{2}, 6)$。定義域は $1 \le x \le 5$。

$x = \frac{5}{2}$ は定義域に含まれるので、最大値は 6。

$x = 1$ のとき、$y = -1 + 5 - \frac{1}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$

$x = 5$ のとき、$y = -25 + 25 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

よって、最小値は $-\frac{1}{4}$。

6. (4) $y = -2x^2 - 4x + 1$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(-2)(1) = 16 + 8 = 24 > 0$ なので、x軸との共有点は2個ある。

6. (5) $y = x^2 - 2x + k + 3$

x軸と共有点を持たない条件は、判別式 $D < 0$。

$D = (-2)^2 - 4(1)(k + 3) = 4 - 4k - 12 = -4k - 8 < 0$

$-4k < 8 \implies k > -2$

7. (1) $\cos(-510^{\circ}) = \cos(-510^{\circ} + 360^{\circ} \times 2) = \cos(210^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

7. (2) $\sin \frac{11}{6}\pi = \sin (2\pi - \frac{1}{6}\pi) = \sin (-\frac{1}{6}\pi) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

7. (3) $\tan (-\frac{14}{3}\pi) = \tan (-\frac{14}{3}\pi + 5\pi) = \tan (\frac{1}{3}\pi) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

8. 弧の長さ $l = r\theta = 12 \times \frac{5}{6}\pi = 10\pi$ cm

面積 $S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2} \times 12^2 \times \frac{5}{6}\pi = \frac{1}{2} \times 144 \times \frac{5}{6}\pi = 12 \times 5 \pi = 60\pi$ cm$^2$

9. (1) $y = \sin 3x$ の周期は $\frac{2\pi}{3}$。

(2) $y = \tan \frac{x}{3}$ の周期は $\frac{\pi}{\frac{1}{3}} = 3\pi$。

1

0. (1) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ の解は、$x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。

1

0. (2) $\cos x \le -\frac{1}{2}$ の解は、$\frac{2\pi}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}$。

1

1. (1) $\alpha$ が鈍角で、$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$。

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$

1

1. (2) $\alpha$ が鈍角で、$\tan \alpha = -2\sqrt{2}$。

$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + 8} = \frac{1}{9}$

$\cos \alpha = \pm \frac{1}{3}$

$\alpha$ が鈍角なので、$\cos \alpha = -\frac{1}{3}$

1

1. (3) $\alpha$ が第3象限の角で、$\tan \alpha = \frac{1}{3}\sqrt{7}$。

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{7}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{16}{9}}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$

$\alpha$ が第3象限なので、$\cos \alpha < 0$。よって、$\cos \alpha = -\frac{3}{4}$

$\sin \alpha = \tan \alpha \cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3} \times (-\frac{3}{4}) = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

3. 最終的な答え

6. (1) (2/3, 7/3)

6. (2) y = (1/2)x^2 - 2x + 3

6. (3) 最大値: 6, 最小値: -1/4

6. (4) 2個ある

6. (5) k > -2

7. (1) -√3/2

7. (2) -1/2

7. (3) √3

8. 弧の長さ: 10π cm, 面積: 60π cm^2

9. (1) 2π/3

9. (2) 3π

1

0. (1) 4π/3, 5π/3

1

0. (2) 2π/3 <= x <= 4π/3

1

1. (1) ① 4/5 ② -4/3

1

1. (2) -1/3

1

1. (3) ① -3/4 ② -√7/4