3点$(-1, -5)$, $(2, 1)$, $(1, 1)$を通る放物線の方程式を$y = -x^2 + ax - b$の形で求め、係数$a$と定数項$b$を特定します。

1. 問題の内容

3点$(-1, -5)$, $(2, 1)$, $(1, 1)$を通る放物線の方程式を$y = -x^2 + ax - b$の形で求め、係数$a$と定数項$b$を特定します。

2. 解き方の手順

放物線が3点を通るので、それぞれの点の座標を方程式に代入して、$a$と$b$についての連立方程式を立てます。

点 $(-1, -5)$ を代入すると、

$-5 = -(-1)^2 + a(-1) - b$

$-5 = -1 - a - b$

$-4 = -a - b$

$a + b = 4$ (1)

点 $(2, 1)$ を代入すると、

$1 = -(2)^2 + a(2) - b$

$1 = -4 + 2a - b$

$5 = 2a - b$ (2)

点 $(1, 1)$ を代入すると、

$1 = -(1)^2 + a(1) - b$

$1 = -1 + a - b$

$2 = a - b$ (3)

(2) と (3) の連立方程式を解きます。

(2) + (3) より、

$5 + 2 = 2a - b + a - b$

$7 = 3a - 2b$

(1)より、$b = 4 - a$を(3)に代入して

$2 = a - (4 - a) = 2a - 4$

$2a = 6$

$a = 3$

$b = 4 - a = 4 - 3 = 1$

これで$a$と$b$の値が求まりました。

放物線の方程式は$y = -x^2 + 3x - 1$となります。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 1