関数 $y = \{\log(x^2 + 2x)\}^3$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \{\log(x^2 + 2x)\}^3$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、合成関数の微分（連鎖律）を使う必要があります。

まず、外側の関数 $u^3$ を $u$ で微分し、次に内側の関数 $\log(x^2 + 2x)$ を $x$ で微分します。

ステップ1: $y = u^3$ とおくと、$u = \log(x^2 + 2x)$ です。

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3\{\log(x^2 + 2x)\}^2$

ステップ2: $u = \log(v)$ とおくと、$v = x^2 + 2x$ です。

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v} = \frac{1}{x^2 + 2x}$

ステップ3: $v = x^2 + 2x$ を $x$ で微分します。

$\frac{dv}{dx} = 2x + 2 = 2(x + 1)$

ステップ4: 連鎖律を使って、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ を計算します。

$\frac{dy}{dx} = 3\{\log(x^2 + 2x)\}^2 \cdot \frac{1}{x^2 + 2x} \cdot 2(x + 1)$

ステップ5: 式を整理します。

$\frac{dy}{dx} = 3\{\log(x^2 + 2x)\}^2 \cdot \frac{2(x + 1)}{x^2 + 2x} = 6\{\log(x^2 + 2x)\}^2 \cdot \frac{x + 1}{x^2 + 2x}$

3. 最終的な答え

$6\{\log(x^2 + 2x)\}^2 \cdot \frac{x + 1}{x^2 + 2x}$

選択肢4が正しいです。