関数 $f(x) = x(x+2)(x-2)$ の $-3 \le x \le 1$ の区間における最大値と、そのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(x+2)(x-2)$ の $-3 \le x \le 1$ の区間における最大値と、そのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を展開します。

$f(x) = x(x^2 - 4) = x^3 - 4x$

次に、微分を用いて極値を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 4$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x^2 - 4 = 0$

$3x^2 = 4$

$x^2 = \frac{4}{3}$

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$x = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155$

$x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx -1.155$

区間 $-3 \le x \le 1$ に含まれるのは $x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ です。

区間の端点と極値の候補である $x$ の値における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-3) = (-3)^3 - 4(-3) = -27 + 12 = -15$

$f(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = (-\frac{2\sqrt{3}}{3})^3 - 4(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = -\frac{8(3\sqrt{3})}{27} + \frac{8\sqrt{3}}{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{9} + \frac{24\sqrt{3}}{9} = \frac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3.079$

$f(1) = 1^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3$

これらの値の中で最大なのは $f(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = \frac{16\sqrt{3}}{9}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{16\sqrt{3}}{9}$

そのときの $x$ の値: $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$