関数 $f(x) = -2x^2 + 6x - 3$ の、区間 $-1 \le x \le 3$ における最大値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^2 + 6x - 3$ の、区間 $-1 \le x \le 3$ における最大値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成して、頂点の座標を求めます。

$f(x) = -2x^2 + 6x - 3 = -2(x^2 - 3x) - 3$

$f(x) = -2\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) + 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3$

$f(x) = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{9}{4}\right) - 3$

$f(x) = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{2} - \frac{6}{2}$

$f(x) = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$

したがって、頂点の座標は $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ です。

次に、定義域 $-1 \le x \le 3$ における関数の最大値を調べます。

頂点の $x$ 座標 $\frac{3}{2}$ は定義域に含まれているため、頂点で最大値をとる可能性があります。

$f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} = 1.5$

定義域の端点での値を計算します。

$f(-1) = -2(-1)^2 + 6(-1) - 3 = -2 - 6 - 3 = -11$

$f(3) = -2(3)^2 + 6(3) - 3 = -18 + 18 - 3 = -3$

$f(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}$, $f(-1) = -11$, $f(3) = -3$ の中で最も大きい値は $\frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{3}{2}$

$x$の値：$\frac{3}{2}$