与えられた4次方程式 $3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x - 8 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x - 8 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x - 8$ とします。

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 - 12x + 24$

$f'(x) = 12(x^3 - 2x^2 - x + 2)$

$f'(x) = 12[x^2(x - 2) - (x - 2)]$

$f'(x) = 12(x^2 - 1)(x - 2)$

$f'(x) = 12(x - 1)(x + 1)(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = -1, 1, 2$ です。

これらの値を用いて、$f(x)$ の増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... | 2 | ... |

| ---- | ---- | ---- | --- | --- | --- | --- | --- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↘ | | ↗ | | ↘ | | ↗ |

$x = -1$ のとき $f(-1) = 3(-1)^4 - 8(-1)^3 - 6(-1)^2 + 24(-1) - 8 = 3 + 8 - 6 - 24 - 8 = -27$

$x = 1$ のとき $f(1) = 3(1)^4 - 8(1)^3 - 6(1)^2 + 24(1) - 8 = 3 - 8 - 6 + 24 - 8 = 5$

$x = 2$ のとき $f(2) = 3(2)^4 - 8(2)^3 - 6(2)^2 + 24(2) - 8 = 48 - 64 - 24 + 48 - 8 = 0$

増減表より、

$x < -1$ で $f(x)$ は減少し、$f(-1) = -27 < 0$ なので、$x < -1$ の範囲で少なくとも1つの実数解が存在します。

$-1 < x < 1$ で $f(x)$ は増加し、$f(1) = 5 > 0$ なので、$-1 < x < 1$ の範囲で1つの実数解が存在します。

$1 < x < 2$ で $f(x)$ は減少し、$f(2) = 0$ なので、$x = 2$ は実数解です。

$2 < x$ で $f(x)$ は増加します。$f(2) = 0$ から、$2 < x$ の範囲では実数解は存在しません。

したがって、異なる実数解は、$x < -1$ の範囲に1つ、$-1 < x < 1$ の範囲に1つ、そして $x = 2$ の合計3つです。

3. 最終的な答え

3個