3次方程式 $x^3 - 3x + 4 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x + 4 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x + 4$ を考え、そのグラフを描き、x軸との交点の数を調べることで実数解の個数を求めます。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 3$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x = -1$ と $x = 1$ が極値を取る候補点です。次に、それぞれの点における $f(x)$ の値を求めます。

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6$

$f(1) = (1)^3 - 3(1) + 4 = 1 - 3 + 4 = 2$

$x < -1$ のとき、$f'(x) > 0$ なので $f(x)$ は増加。

$-1 < x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$ なので $f(x)$ は減少。

$x > 1$ のとき、$f'(x) > 0$ なので $f(x)$ は増加。

よって、$x = -1$ で極大値 $6$ をとり、$x = 1$ で極小値 $2$ をとります。

$f(x)$ は極大値が $6 > 0$、極小値が $2 > 0$ であることから、x軸と1回だけ交わります。したがって、実数解は1つだけです。

3. 最終的な答え

1個