与えられた式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解します。

代数学因数分解多項式
2025/4/5

1. 問題の内容

与えられた式 6x2+7xy+2y2+x26x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2 を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、xxyyの2次式の部分を因数分解します。
6x2+7xy+2y2=(2x+y)(3x+2y)6x^2 + 7xy + 2y^2 = (2x+y)(3x+2y)
与式は
(2x+y)(3x+2y)+x2(2x+y)(3x+2y) + x - 2
のようになります。
次に、(2x+y+a)(3x+2y+b)(2x+y+a)(3x+2y+b) の形になることを期待して展開します。
(2x+y+a)(3x+2y+b)=6x2+4xy+2bx+3xy+2y2+by+3ax+2ay+ab(2x+y+a)(3x+2y+b) = 6x^2 + 4xy + 2bx + 3xy + 2y^2 + by + 3ax + 2ay + ab
=6x2+7xy+2y2+(2b+3a)x+(b+2a)y+ab= 6x^2 + 7xy + 2y^2 + (2b+3a)x + (b+2a)y + ab
6x2+7xy+2y2+x26x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2と係数を比較すると、
2b+3a=12b+3a = 1
b+2a=0b+2a = 0
ab=2ab = -2
連立方程式を解きます。
b=2ab = -2a
2(2a)+3a=12(-2a) + 3a = 1
4a+3a=1-4a + 3a = 1
a=1-a = 1
a=1a = -1
b=2a=2(1)=2b = -2a = -2(-1) = 2
ab=(1)(2)=2ab = (-1)(2) = -2となり、整合性が取れます。
したがって、
6x2+7xy+2y2+x2=(2x+y1)(3x+2y+2)6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2 = (2x+y-1)(3x+2y+2)

3. 最終的な答え

(2x+y1)(3x+2y+2)(2x+y-1)(3x+2y+2)

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