全体集合 $U$ を、$10$ より小さい自然数の集合とする。集合 $A$ を $\{2, 4, 6\}$、集合 $B$ を $\{1, 3, 4, 7\}$ とする。 以下の集合をそれぞれ求める問題である。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cap \overline{B}$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $\overline{A \cap B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を、$10$ より小さい自然数の集合とする。集合 $A$ を $\{2, 4, 6\}$、集合 $B$ を $\{1, 3, 4, 7\}$ とする。

以下の集合をそれぞれ求める問題である。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cap \overline{B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $\overline{A \cap B}$

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ を書き出す。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(1) $\overline{A}$ は、$U$ の要素のうち $A$ に含まれない要素の集合である。

$A = \{2, 4, 6\}$ なので、$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$

(2) $A \cap \overline{B}$ を求める。まず、$\overline{B}$ を求める。

$B = \{1, 3, 4, 7\}$ なので、$\overline{B} = \{2, 5, 6, 8, 9\}$

$A = \{2, 4, 6\}$ と $\overline{B} = \{2, 5, 6, 8, 9\}$ の共通部分は $\{2, 6\}$ である。

したがって、$A \cap \overline{B} = \{2, 6\}$

(3) $\overline{A \cup B}$ を求める。まず、$A \cup B$ を求める。

$A = \{2, 4, 6\}$ と $B = \{1, 3, 4, 7\}$ の和集合は $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7\}$

したがって、$\overline{A \cup B} = \{5, 8, 9\}$

(4) $\overline{A \cap B}$ を求める。まず、$A \cap B$ を求める。

$A = \{2, 4, 6\}$ と $B = \{1, 3, 4, 7\}$ の共通部分は $A \cap B = \{4\}$

したがって、$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{2, 6\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \{5, 8, 9\}$

(4) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$