与えられたブール代数の式を証明する問題です。以下の5つの式を証明します。 (1) $AB + \overline{B} = A + \overline{B}$ (2) $(A+B)(\overline{A} + B) = A$ (3) $A + BC = (A+B)(A+C)$ (4) $AB + \overline{A}BC = AB + BC$ (5) $(A+B+C)(\overline{A} + B) = B + C\overline{A}$

1. 問題の内容

与えられたブール代数の式を証明する問題です。以下の5つの式を証明します。

(1) $AB + \overline{B} = A + \overline{B}$

(2) $(A+B)(\overline{A} + B) = A$

(3) $A + BC = (A+B)(A+C)$

(4) $AB + \overline{A}BC = AB + BC$

(5) $(A+B+C)(\overline{A} + B) = B + C\overline{A}$

2. 解き方の手順

ブール代数の基本法則（分配法則、吸収法則、ド・モルガンの法則など）を適用して、左辺を変形し右辺と一致することを示すか、またはその逆を行います。

(1) $AB + \overline{B} = A + \overline{B}$

左辺に恒等元 $1$ をかけることを考えます。

$AB + \overline{B} = AB + \overline{B}(A + \overline{A}) = AB + \overline{B}A + \overline{B}\overline{A} = AB + A\overline{B} + \overline{A}\overline{B} = A(B+\overline{B}) + \overline{A}\overline{B} = A + \overline{A}\overline{B}$

一方、右辺は$A + \overline{B} = A(B+\overline{B}) + \overline{B}(A + \overline{A}) = AB + A\overline{B} + \overline{B}\overline{A}$となります。

しかし、これは問題文が間違っていると思われます。正しくは$AB + \overline{A} = A + \overline{A}$であれば、これは明らかです。もし問題が$AB + \overline{B} = A + \overline{B}$であれば成り立ちません。

(2) $(A+B)(\overline{A} + B) = B$

左辺を展開します。

$(A+B)(\overline{A} + B) = A\overline{A} + AB + B\overline{A} + BB = 0 + AB + B\overline{A} + B = B(A+\overline{A}+1) = B(1+1) = B$

したがって、左辺は$B$に等しくなります。よって、$(A+B)(\overline{A} + B) = B$

(3) $A + BC = (A+B)(A+C)$

右辺を展開します。

$(A+B)(A+C) = AA + AC + BA + BC = A + AC + AB + BC = A(1+C+B) + BC = A + BC$

したがって、右辺は$A + BC$に等しくなります。

(4) $AB + \overline{A}BC = AB + BC$

左辺を変形します。

$AB + \overline{A}BC = AB(1) + \overline{A}BC = AB(1+C) + \overline{A}BC = AB + ABC + \overline{A}BC = AB + BC(A+\overline{A}) = AB + BC(1) = AB + BC$

したがって、左辺は$AB + BC$に等しくなります。

(5) $(A+B+C)(\overline{A} + B) = B + C\overline{A}$

左辺を展開します。

$(A+B+C)(\overline{A} + B) = A\overline{A} + AB + B\overline{A} + BB + C\overline{A} + CB = 0 + AB + B\overline{A} + B + C\overline{A} + CB = B(A+\overline{A}+1) + C\overline{A} + CB = B + C\overline{A} + CB = B + \overline{A}C + BC = B + C(\overline{A} + B)$

したがって、左辺は$B + \overline{A}C$に等しくなります。

3. 最終的な答え

(1) $AB + \overline{B} = A + \overline{B}$ (問題文が間違っている可能性あり)

(2) $(A+B)(\overline{A} + B) = B$

(3) $A + BC = (A+B)(A+C)$

(4) $AB + \overline{A}BC = AB + BC$

(5) $(A+B+C)(\overline{A} + B) = B + C\overline{A}$