全体集合Uとその部分集合A, Bについて、n(U) = 60, n(A) = 30, n(B) = 25である。このとき、次の集合の要素数の最大値と最小値を求めよ。 (1) $n(A \cap B)$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(A \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合Uとその部分集合A, Bについて、n(U) = 60, n(A) = 30, n(B) = 25である。このとき、次の集合の要素数の最大値と最小値を求めよ。

(1) $n(A \cap B)$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(A \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(A \cap B)$ の最大値と最小値

$A \cap B$ はAとBの両方に含まれる部分なので、要素数の最大値は、要素数の少ない方の集合に一致する場合である。

したがって、$n(A \cap B)$ の最大値は、$n(B) = 25$となる。

また、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$より、$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$となる。

$A \cup B$は全体集合Uの部分集合なので、$n(A \cup B) \leq n(U)$。よって、$n(A \cup B) \leq 60$。

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) \geq 30 + 25 - 60 = -5$となるが、$n(A \cap B)$は0以上の整数なので、下限は0になる。

$n(A \cup B) \geq n(A)$なので、$n(A \cup B) \geq 30$

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) \leq 30 + 25 - 30 = 25$

$n(A \cup B) \geq n(B)$なので、$n(A \cup B) \geq 25$

$n(A \cup B) \leq n(A) + n(B) = 55$

したがって、$n(A \cap B) \geq 30 + 25 - 60 = -5$。$n(A \cap B)$は0以上の整数なので、下限は0になる。 $B \subset A$となるとき、$n(A \cap B) = n(B) = 25$

$A \cap B = \emptyset$となるとき、$n(A \cap B) = 0$

したがって、最大値は25、最小値は0。

(2) $n(A \cup B)$ の最大値と最小値

$A \cup B$ はAまたはBに含まれる部分なので、要素数の最大値は全体集合Uに一致する場合である。

したがって、$n(A \cup B)$ の最大値は、$n(U) = 60$となる。

また、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$なので、$n(A \cap B)$が最大となるとき、$n(A \cup B)$は最小となる。

$n(A \cap B)$の最大値は25なので、$n(A \cup B)$の最小値は$30 + 25 - 25 = 30$となる。

(3) $n(A \cap \overline{B})$ の最大値と最小値

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

$n(A \cap \overline{B})$が最大となるのは、$n(A \cap B)$が最小となるとき。$n(A \cap B)$の最小値は0なので、$n(A \cap \overline{B})$の最大値は$30 - 0 = 30$

$n(A \cap \overline{B})$が最小となるのは、$n(A \cap B)$が最大となるとき。$n(A \cap B)$の最大値は25なので、$n(A \cap \overline{B})$の最小値は$30 - 25 = 5$

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B)$ の最大値: 25, 最小値: 0

(2) $n(A \cup B)$ の最大値: 60, 最小値: 30

(3) $n(A \cap \overline{B})$ の最大値: 30, 最小値: 5