全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、 $B = \{3, 6\}$ が与えられたとき、次の集合を求める問題です。 (1) $\overline{B}$ (2) $\overline{A \cap B}$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A} \cap B$ (6) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、 $B = \{3, 6\}$ が与えられたとき、次の集合を求める問題です。

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A \cap B}$

(3) $A \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $\overline{A} \cap B$

(6) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた集合の補集合や共通部分、和集合を計算します。

(1) $\overline{B}$ (Bの補集合):

$\overline{B}$ は $U$ に含まれるが $B$ に含まれない要素の集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、 $B = \{3, 6\}$ なので、$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $\overline{A \cap B}$ ($A \cap B$ の補集合):

まず、$A \cap B$ を求めます。

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3\}$、 $B = \{3, 6\}$ なので、$A \cap B = \{3\}$

$\overline{A \cap B}$ は $U$ に含まれるが $A \cap B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(3) $A \cap \overline{B}$ ($A$ と $B$ の補集合の共通部分):

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$ (上記(1)で求めた) です。

$A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3\}$、 $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$ なので、$A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

(4) $\overline{A \cup B}$ ($A \cup B$ の補集合):

まず、$A \cup B$ を求めます。

$A \cup B$ は $A$ または $B$ に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3\}$、 $B = \{3, 6\}$ なので、$A \cup B = \{1, 2, 3, 6\}$

$\overline{A \cup B}$ は $U$ に含まれるが $A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A \cup B} = \{4, 5\}$

(5) $\overline{A} \cap B$ ($A$ の補集合と $B$ の共通部分):

$\overline{A}$ は $U$ に含まれるが $A$ に含まれない要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3\}$ なので、$\overline{A} = \{4, 5, 6\}$

$\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} = \{4, 5, 6\}$、 $B = \{3, 6\}$ なので、$\overline{A} \cap B = \{6\}$

(6) $A \cap \overline{B}$ ($A$ と $B$ の補集合の共通部分):

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$ (上記(1)で求めた) です。

$A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3\}$、 $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$ なので、$A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{4, 5\}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{6\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$