全体集合 $U$ を10以下の自然数全体の集合とし、部分集合 $A = \{2, 3, 6, 8, 9\}$、$B = \{1, 3, 5, 8\}$ が与えられたとき、以下の集合を要素を書き並べて表す問題です。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A}$ (4) $\overline{A \cap B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を10以下の自然数全体の集合とし、部分集合 $A = \{2, 3, 6, 8, 9\}$、$B = \{1, 3, 5, 8\}$ が与えられたとき、以下の集合を要素を書き並べて表す問題です。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A}$

(4) $\overline{A \cap B}$

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ を要素を書き並べて表します。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(1) $A \cap B$ (A かつ B) は、A と B の両方に含まれる要素の集合です。

A と B に共通の要素は 3 と 8 です。

したがって、$A \cap B = \{3, 8\}$

(2) $A \cup B$ (A または B) は、A または B に含まれる要素の集合です。

A と B の要素をすべて書き出して、重複する要素を1つにまとめます。

したがって、$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9\}$

(3) $\overline{A}$ (A の補集合) は、全体集合 U の中で A に含まれない要素の集合です。

A に含まれない要素は 1, 4, 5, 7, 10 です。

したがって、$\overline{A} = \{1, 4, 5, 7, 10\}$

(4) $\overline{A \cap B}$ は、$A \cap B$ の補集合です。

まず、$A \cap B = \{3, 8\}$ でした。

したがって、$\overline{A \cap B}$ は、全体集合 U の中で $A \cap B$ に含まれない要素の集合です。

$A \cap B$ に含まれない要素は 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10 です。

したがって、$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{3, 8\}$

(2) $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9\}$

(3) $\overline{A} = \{1, 4, 5, 7, 10\}$

(4) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$