抵抗力と一定の力 $f$ が働く物体の運動について、一般解 $x = \frac{f}{\gamma}t + C_3e^{-\frac{\gamma}{m}t} + C_4$ が与えられたとき、以下の初期条件に対して解を求め、終端速度を求め、最後に特定の初期条件における $x$ 座標の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

抵抗力と一定の力 $f$ が働く物体の運動について、一般解 $x = \frac{f}{\gamma}t + C_3e^{-\frac{\gamma}{m}t} + C_4$ が与えられたとき、以下の初期条件に対して解を求め、終端速度を求め、最後に特定の初期条件における $x$ 座標の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、速度 $v_x$ を時間 $t$ で微分して求めます。

$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{f}{\gamma} - \frac{\gamma}{m}C_3e^{-\frac{\gamma}{m}t}$

次に、それぞれの初期条件について、定数 $C_3$ と $C_4$ を決定します。

(1) $t=0$ で $x=0$, $v_x=0$ のとき:

$0 = \frac{f}{\gamma}(0) + C_3e^{0} + C_4 \Rightarrow C_3 + C_4 = 0$

$0 = \frac{f}{\gamma} - \frac{\gamma}{m}C_3e^{0} \Rightarrow C_3 = \frac{mf}{\gamma^2}$

$C_4 = -C_3 = -\frac{mf}{\gamma^2}$

したがって、$x = \frac{f}{\gamma}t + \frac{mf}{\gamma^2}e^{-\frac{\gamma}{m}t} - \frac{mf}{\gamma^2}$

(2) $t=0$ で $x=a$, $v_x=0$ のとき:

$a = \frac{f}{\gamma}(0) + C_3e^{0} + C_4 \Rightarrow C_3 + C_4 = a$

$0 = \frac{f}{\gamma} - \frac{\gamma}{m}C_3e^{0} \Rightarrow C_3 = \frac{mf}{\gamma^2}$

$C_4 = a - C_3 = a - \frac{mf}{\gamma^2}$

したがって、$x = \frac{f}{\gamma}t + \frac{mf}{\gamma^2}e^{-\frac{\gamma}{m}t} + a - \frac{mf}{\gamma^2}$

(3) $t=0$ で $x=0$, $v_x=v_0$ のとき:

$0 = \frac{f}{\gamma}(0) + C_3e^{0} + C_4 \Rightarrow C_3 + C_4 = 0$

$v_0 = \frac{f}{\gamma} - \frac{\gamma}{m}C_3e^{0} \Rightarrow C_3 = \frac{m}{\gamma}(\frac{f}{\gamma} - v_0)$

$C_4 = -C_3 = \frac{m}{\gamma}(v_0 - \frac{f}{\gamma})$

したがって、$x = \frac{f}{\gamma}t + \frac{m}{\gamma}(\frac{f}{\gamma} - v_0)e^{-\frac{\gamma}{m}t} + \frac{m}{\gamma}(v_0 - \frac{f}{\gamma})$

(4) $t=0$ で $x=a$, $v_x=-v_0$ のとき:

$a = \frac{f}{\gamma}(0) + C_3e^{0} + C_4 \Rightarrow C_3 + C_4 = a$

$-v_0 = \frac{f}{\gamma} - \frac{\gamma}{m}C_3e^{0} \Rightarrow C_3 = \frac{m}{\gamma}(\frac{f}{\gamma} + v_0)$

$C_4 = a - C_3 = a - \frac{m}{\gamma}(\frac{f}{\gamma} + v_0)$

したがって、$x = \frac{f}{\gamma}t + \frac{m}{\gamma}(\frac{f}{\gamma} + v_0)e^{-\frac{\gamma}{m}t} + a - \frac{m}{\gamma}(\frac{f}{\gamma} + v_0)$

(5) 終端速度を求めます。

$t \rightarrow \infty$ のとき、$e^{-\frac{\gamma}{m}t} \rightarrow 0$ なので、

$v_x = \frac{f}{\gamma} - \frac{\gamma}{m}C_3e^{-\frac{\gamma}{m}t}$ より、

$\lim_{t\to\infty} v_x = \frac{f}{\gamma}$

(6) 問 (4) について、$x$ 座標の値の最小値を求めます。

$v_x = 0$ となる $t$ を求めます。

$-v_0 = \frac{f}{\gamma} - \frac{\gamma}{m}C_3e^{-\frac{\gamma}{m}t}$ より、

$\frac{f}{\gamma}-v_0 = \frac{\gamma}{m} C_3 e^{-\gamma t / m}$

$0 = \frac{f}{\gamma} - \frac{\gamma}{m}\frac{m}{\gamma}(\frac{f}{\gamma} + v_0) e^{-\frac{\gamma}{m}t}$

$\frac{f}{\gamma} = (\frac{f}{\gamma} + v_0) e^{-\frac{\gamma}{m}t}$

$e^{\frac{\gamma}{m}t} = 1 + \frac{v_0\gamma}{f}$

$t = \frac{m}{\gamma} \ln(1 + \frac{v_0 \gamma}{f})$

この $t$ を $x$ に代入して最小値を求めます。

$x_{min} = \frac{f}{\gamma}\frac{m}{\gamma} \ln(1 + \frac{v_0 \gamma}{f}) + \frac{m}{\gamma}(\frac{f}{\gamma} + v_0)(1 + \frac{v_0 \gamma}{f})^{-1} + a - \frac{m}{\gamma}(\frac{f}{\gamma} + v_0)$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{f}{\gamma}t + \frac{mf}{\gamma^2}e^{-\frac{\gamma}{m}t} - \frac{mf}{\gamma^2}$

(2) $x = \frac{f}{\gamma}t + \frac{mf}{\gamma^2}e^{-\frac{\gamma}{m}t} + a - \frac{mf}{\gamma^2}$

(3) $x = \frac{f}{\gamma}t + \frac{m}{\gamma}(\frac{f}{\gamma} - v_0)e^{-\frac{\gamma}{m}t} + \frac{m}{\gamma}(v_0 - \frac{f}{\gamma})$

(4) $x = \frac{f}{\gamma}t + \frac{m}{\gamma}(\frac{f}{\gamma} + v_0)e^{-\frac{\gamma}{m}t} + a - \frac{m}{\gamma}(\frac{f}{\gamma} + v_0)$

(5) $\frac{f}{\gamma}$

(6) $x_{min} = \frac{mf}{\gamma^2}\ln(1 + \frac{v_0 \gamma}{f}) + a - \frac{mv_0}{\gamma} (1 + \frac{f}{\gamma v_0})$