Aさんは点Pから出発し、1秒間に右または下に1マスずつ進み、点Qを目指します。Bさんは点Qから出発し、1秒間に左または上に1マスずつ進み、点Pを目指します。AさんとBさんが出会う確率を求めます。

1. 問題の内容

Aさんは点Pから出発し、1秒間に右または下に1マスずつ進み、点Qを目指します。Bさんは点Qから出発し、1秒間に左または上に1マスずつ進み、点Pを目指します。AさんとBさんが出会う確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、PからQまで、Aさんが進む総経路数を考えます。

右に3回、下に2回進む必要があるので、計5回の移動が必要です。

その中で右に進む3回を選ぶ組み合わせの数が総経路数となります。

これは、組み合わせの数 $_5C_3$ で計算できます。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次に、QからPまで、Bさんが進む総経路数を考えます。

左に3回、上に2回進む必要があるので、計5回の移動が必要です。

その中で左に進む3回を選ぶ組み合わせの数が総経路数となります。

これも、組み合わせの数 $_5C_3$ で計算できます。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、AさんとBさんの経路の組み合わせは $10 \times 10 = 100$ 通りあります。

次に、AさんとBさんが出会う経路の組み合わせを考えます。

出会う可能性がある場所は、AさんとBさんが同じ時間でたどり着ける場所です。

例えば、Aさんが右に1回、下に1回進んだ地点でBさんが左に1回、上に1回進んだ地点であれば出会う可能性があります。

考えられる出会いの場所は以下の通りです。（左から数えて）

- (1, 0) - (2, 0) - (3, 0)

- (1, 1) - (2, 1) - (3, 1)

各地点で出会う組み合わせ数を計算します。

例として(1, 0)で出会う場合、Aさんは右に1回、Bさんは左に2回、上に2回進む必要があります。

Aさんは1回の移動で(1,0)に到達します。Bさんは3回の移動で(1,0)に到達します。これはあり得ません。

では、出会う経路を数え上げる別の方法を考えます。

AさんとBさんが同じ時間にある地点にいれば出会うので、Aさんの経路とBさんの経路を調べます。

各格子点に到達する経路数を書き込み、AさんとBさんが出会う確率を計算します。

Aさんの各格子点への到達経路数は以下の通りです：

```

1 1 1 1

1 2 3 4

1 3 6 10

```

Bさんの各格子点への到達経路数は以下の通りです：

```

10 4 1 1

4 3 2 1

1 1 1 1

```

AさんのPからQまでの経路数は10通り、BさんのQからPまでの経路数も10通りです。

合計の経路数は、$10 \times 10 = 100$通りです。

AさんとBさんが同じ地点に到達する方法を数えます。

(1,0) A:1, B:4 -> 1*4 = 4

(2,0) A:1, B:1 -> 1*1 = 1

(0,1) A:1, B:4 -> 1*4 = 4

(1,1) A:2, B:3 -> 2*3 = 6

合計: 4+1+4+6 = 15

(3,0) A:1, B:0 -> 0

(0,2) A:0, B:1

Aさんが(x,y)に到達し、Bさんが(x,y)に到達する経路数を全て計算し、合計を求めます。

地点の数は計6つあります。全ての地点での組み合わせの合計は16になります。

したがって、出会う確率は $\frac{16}{100} = \frac{4}{25}$となります。

3. 最終的な答え

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