与えられた正の実数 $a$ に対して、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、方程式 $$\sin 3x - 2\sin 2x + (2-a^2)\sin x = 0$$ の異なる解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた正の実数 $a$ に対して、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、方程式

$$\sin 3x - 2\sin 2x + (2-a^2)\sin x = 0$$

の異なる解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の倍角の公式、3倍角の公式を用いて、$\sin x$ でくくりだします。

$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$

を用いると、

$3\sin x - 4\sin^3 x - 4\sin x \cos x + (2-a^2)\sin x = 0$

$\sin x(3 - 4\sin^2 x - 4\cos x + 2 - a^2) = 0$

$\sin x(5 - 4\sin^2 x - 4\cos x - a^2) = 0$

$\sin x(5 - 4(1-\cos^2 x) - 4\cos x - a^2) = 0$

$\sin x(5 - 4 + 4\cos^2 x - 4\cos x - a^2) = 0$

$\sin x(4\cos^2 x - 4\cos x + 1 - a^2) = 0$

$\sin x((2\cos x - 1)^2 - a^2) = 0$

$\sin x(2\cos x - 1 - a)(2\cos x - 1 + a) = 0$

よって、$\sin x = 0$ または $2\cos x - 1 - a = 0$ または $2\cos x - 1 + a = 0$

$\sin x = 0$ より $x = 0, \pi$

$2\cos x = 1+a$ より $\cos x = \frac{1+a}{2}$

$2\cos x = 1-a$ より $\cos x = \frac{1-a}{2}$

$\cos x = \frac{1+a}{2}$ について、$-1 \le \frac{1+a}{2} \le 1$ より $-3 \le a \le 1$

$a>0$ より $0 < a \le 1$ のとき、解は2個。

$a > 1$ のとき、解なし。

$\cos x = \frac{1-a}{2}$ について、$-1 \le \frac{1-a}{2} \le 1$ より $-1 \le a \le 3$

$a>0$ より $0 < a \le 3$ のとき、解は2個。

$a>3$ のとき、解なし。

$0 < a < 1$ のとき、$\sin x = 0$ の解2個、$\cos x = \frac{1+a}{2}$ の解2個、$\cos x = \frac{1-a}{2}$ の解2個。

$x=0, \pi$ は $\cos x = \frac{1+a}{2}, \cos x = \frac{1-a}{2}$ の解に含まれないので、合計6個。

$a=1$ のとき、$\sin x = 0$ の解2個、$\cos x = 1$ の解1個($x=0$)、$\cos x = 0$ の解2個($x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$)。

$x=0$ は $\sin x=0$ の解なので、合計5個。

$1 < a \le 3$ のとき、$\sin x = 0$ の解2個、$\cos x = \frac{1-a}{2}$ の解2個。

合計4個。

$a>3$ のとき、$\sin x = 0$ の解2個。

合計2個。

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$ のとき、6個

$a = 1$ のとき、5個

$1 < a \le 3$ のとき、4個

$a > 3$ のとき、2個