ソレノイドコイルの磁束密度 $B$、自己インダクタンス $L$、磁気エネルギー密度 $u$ をそれぞれ求めます。ソレノイドコイルの単位長さあたりの巻き数は $n$、長さは $l$、断面積は $S$ であり、電流 $I$ が流れています。

1. 問題の内容

ソレノイドコイルの磁束密度 $B$、自己インダクタンス $L$、磁気エネルギー密度 $u$ をそれぞれ求めます。ソレノイドコイルの単位長さあたりの巻き数は $n$、長さは $l$、断面積は $S$ であり、電流 $I$ が流れています。

2. 解き方の手順

(1) コイル内部の磁束密度 $B$ の計算:

ソレノイドコイル内部の磁束密度 $B$ は、アンペールの法則から以下のように求められます。

$B = \mu_0 n I$

ここで、$\mu_0$ は真空の透磁率です。

(2) ソレノイドコイルの自己インダクタンス $L$ の計算:

ソレノイドコイルの自己インダクタンス $L$ は、以下の式で求められます。

$L = \frac{\Phi}{I} N = \frac{B S}{I} N$

ここで、$\Phi$ は磁束、$N$はコイルの総巻き数です。総巻き数 $N$ は $n l$で与えられます。

したがって、

$L = \frac{\mu_0 n I S}{I} (n l) = \mu_0 n^2 S l$

(3) コイルに蓄えられる磁気エネルギー密度 $u$ の計算:

磁気エネルギー密度 $u$ は、以下の式で求められます。

$u = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$

$B$に(1)の結果を代入すると、

$u = \frac{1}{2} \frac{(\mu_0 n I)^2}{\mu_0} = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I^2$

3. 最終的な答え

(1) 磁束密度 $B$:

$B = \mu_0 n I$

(2) 自己インダクタンス $L$:

$L = \mu_0 n^2 S l$

(3) 磁気エネルギー密度 $u$:

$u = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I^2$