与えられた式を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。 (1) $-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ (2) $2\sin\theta + 2\cos\theta$

1. 問題の内容

与えられた式を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。

(1) $-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

(2) $2\sin\theta + 2\cos\theta$

2. 解き方の手順

(1) $-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の場合

$r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta$

与えられた式と比較すると、

$r\cos\alpha = -1$

$r\sin\alpha = \sqrt{3}$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha = (-1)^2 + (\sqrt{3})^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 1 + 3$

$r^2 = 4$

$r > 0$ より $r = 2$

$2\cos\alpha = -1 \implies \cos\alpha = -\frac{1}{2}$

$2\sin\alpha = \sqrt{3} \implies \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ かつ $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{2}{3}\pi$ です。

(2) $2\sin\theta + 2\cos\theta$ の場合

$r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta$

与えられた式と比較すると、

$r\cos\alpha = 2$

$r\sin\alpha = 2$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha = 2^2 + 2^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 4 + 4$

$r^2 = 8$

$r > 0$ より $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$2\sqrt{2}\cos\alpha = 2 \implies \cos\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$2\sqrt{2}\sin\alpha = 2 \implies \sin\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{\pi}{4}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $2\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi)$

(2) $2\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$