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問題は、長さが1の線分AB上に点P, Qを繰り返し定め、APの長さを$x_n$としたときの、$x_n$に関する問題です。具体的には、 (1) PがABの中点のとき、$AP_1$, $BQ_1$, $AP_2$の長さを求め、 (2) $AP_{n+1}$と$AP_n$の関係式を求め、 (3) PがABを7:5に内分するとき、$x_n$の一般項を求め、数列$\{x_n\}$について、ある条件を満たす最小の自然数nを求める問題です。

代数学数列漸化式等比数列不等式
2025/8/1

1. 問題の内容

問題は、長さが1の線分AB上に点P, Qを繰り返し定め、APの長さをxnx_nとしたときの、xnx_nに関する問題です。具体的には、
(1) PがABの中点のとき、AP1AP_1, BQ1BQ_1, AP2AP_2の長さを求め、
(2) APn+1AP_{n+1}とAPnAP_nの関係式を求め、
(3) PがABを7:5に内分するとき、xnx_nの一般項を求め、数列{xn}\{x_n\}について、ある条件を満たす最小の自然数nを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)
PがABの中点のとき、AP1=12AP_1 = \frac{1}{2}である。よって、アは12\frac{1}{2}。
Q1Q_1はP1BP_1Bの中点なので、P1B=12P_1B = \frac{1}{2}より、BQ1=12×12=14BQ_1 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}。よって、ウは14\frac{1}{4}。
AQ1=1−14=34AQ_1 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}。P2P_2はAQ1AQ_1の中点なので、AP2=12×34=38AP_2 = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}。よって、オは38\frac{3}{8}。
(2)
APn=xnAP_n = x_nとすると、PnB=1−xnP_nB = 1 - x_n。QnQ_nはPnBP_nBの中点なので、BQn=12(1−xn)BQ_n = \frac{1}{2}(1 - x_n)。
AQn=1−12(1−xn)=12+12xnAQ_n = 1 - \frac{1}{2}(1 - x_n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x_n。
Pn+1P_{n+1}はAQnAQ_nの中点なので、APn+1=xn+1=12(12+12xn)=14xn+14AP_{n+1} = x_{n+1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}x_n) = \frac{1}{4}x_n + \frac{1}{4}
よって、APn+1=14APn+14AP_{n+1} = \frac{1}{4}AP_n + \frac{1}{4}。
xn+1=14xn+14x_{n+1} = \frac{1}{4}x_n + \frac{1}{4}
AP1=x1=12AP_1 = x_1 = \frac{1}{2}なので、キは14\frac{1}{4}、クは14\frac{1}{4}、ケは14\frac{1}{4}、コは14\frac{1}{4}。
(3)
x1=712x_1 = \frac{7}{12}のとき、xn+1=14xn+14x_{n+1} = \frac{1}{4}x_n + \frac{1}{4}を解く。
x=14x+14x = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}より、x=13x = \frac{1}{3}。
xn+1−13=14(xn−13)x_{n+1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{4}(x_n - \frac{1}{3})。
よって、xn−13=(x1−13)(14)n−1=(712−13)(14)n−1=(7−412)(14)n−1=14(14)n−1=(14)nx_n - \frac{1}{3} = (x_1 - \frac{1}{3})(\frac{1}{4})^{n-1} = (\frac{7}{12} - \frac{1}{3})(\frac{1}{4})^{n-1} = (\frac{7-4}{12})(\frac{1}{4})^{n-1} = \frac{1}{4}(\frac{1}{4})^{n-1} = (\frac{1}{4})^n
xn=(14)n+13x_n = (\frac{1}{4})^n + \frac{1}{3}
数列{xn}\{x_n\}の一般項は、xn=13+(14)nx_n = \frac{1}{3} + (\frac{1}{4})^n。
セは13\frac{1}{3}、ソは14\frac{1}{4}、チは1、タは4、サは13\frac{1}{3}、シスは(14)n(\frac{1}{4})^n。
∣xn−13∣=∣(14)n∣=(14)n<11010|x_n - \frac{1}{3}| = |(\frac{1}{4})^n| = (\frac{1}{4})^n < \frac{1}{10^{10}}
4n>10104^n > 10^{10}
nlog⁡4>10log⁡10n \log 4 > 10 \log 10
n(2log⁡2)>10n (2 \log 2) > 10
2n(0.3010)>102n(0.3010) > 10
0.602n>100.602n > 10
n>100.602=100060.2≈100060=503≈16.67n > \frac{10}{0.602} = \frac{1000}{60.2} \approx \frac{1000}{60} = \frac{50}{3} \approx 16.67
よって、最小の自然数nは17。ツテは17。

3. 最終的な答え

ア: 1/2
ウ: 1/4
オ: 3/8
キ: 1/4
ク: 1/4
ケ: 1/4
コ: 1/4
セ: 1/3
ソ: 1/4
チ: 1
タ: 4
サ: 1/3
シス: (1/4)^n
ツテ: 17

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