$a$ が $0$ 以上のすべての実数値をとって変わるとき、 $xy$ 平面上の直線 $l_a: y = 2(a-1)x - a^2 + 2$ が通過する領域 $D$ を求め、図示せよ。

1. 問題の内容

$a$ が $0$ 以上のすべての実数値をとって変わるとき、 $xy$ 平面上の直線 $l_a: y = 2(a-1)x - a^2 + 2$ が通過する領域 $D$ を求め、図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l_a$ の方程式を変形します。

$y = 2(a-1)x - a^2 + 2$

$y = 2ax - 2x - a^2 + 2$

$a^2 - 2xa + y + 2x - 2 = 0$

(2) $a$ の二次方程式とみなします。 $a$ が実数解を持つ条件を求めます。

$a$ が実数解を持つためには、判別式 $D \geq 0$ である必要があります。

$D/4 = (-x)^2 - (y + 2x - 2) = x^2 - y - 2x + 2 \geq 0$

$y \leq x^2 - 2x + 2$

$y \leq (x-1)^2 + 1$

(3) $a \geq 0$ という条件があるので、さらに検討が必要です。

$f(a) = a^2 - 2xa + y + 2x - 2 = 0$

この2次方程式が $a \geq 0$ の範囲に少なくとも1つの解を持つ条件を考えます。

i) 2つの解がともに正であるか、

ii) 1つの解が正、もう1つの解が負であるか、

iii) 解が $a = 0$ である場合を考えます。

$f(0) = y + 2x - 2 \leq 0$ を満たすとき、 $a \geq 0$ に少なくとも1つの解を持つ可能性があります。

軸 $x$ について考えると，$x \geq 0$ の時，$a \geq 0$ に解を持ちます。

$a=0$のとき、$y+2x-2=0$、つまり $y = -2x+2$。

$a=0$の時を考えると、$y=-2x+2$が領域に含まれる必要があります。

$a=1$のとき、$y=-1+2=1$。この時、すべての$x$で、$y=1$が領域に含まれます。

$f(a) = a^2 - 2xa + y + 2x - 2 = 0$

この方程式が $a \geq 0$ に少なくとも1つの解を持つための条件を考えます。

判別式 $D/4 = x^2 - (y + 2x - 2) \geq 0$ より、$y \leq x^2 - 2x + 2$

$y \leq (x-1)^2 + 1$

また、解の公式より、$a = x \pm \sqrt{x^2 - y - 2x + 2}$

$x^2 - y - 2x + 2 \geq 0$

したがって、$y \leq (x-1)^2 + 1$

3. 最終的な答え

求める領域 $D$ は、$y \leq (x-1)^2 + 1$ です。

これは、放物線 $y = (x-1)^2 + 1$ の下側の領域を表します。