与えられた式を満たすように、空欄を埋める問題です。 式は次の通りです。 $(-2x)^{\boxed{?}} \div (-3x) \times 6y \div (-4y)^{\boxed{?}} = -\frac{4x^{\boxed{?}}}{y}$

1. 問題の内容

与えられた式を満たすように、空欄を埋める問題です。

式は次の通りです。

$(-2x)^{\boxed{?}} \div (-3x) \times 6y \div (-4y)^{\boxed{?}} = -\frac{4x^{\boxed{?}}}{y}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$(-2x)^{\boxed{?}} \div (-3x) \times 6y \div (-4y)^{\boxed{?}} = -\frac{4x^{\boxed{?}}}{y}$

左辺の演算を整理するために、累乗の空欄を仮に $a$、右辺の累乗の空欄を $b$、右辺のxの累乗の空欄を $c$ とおきます。すると、式は

$(-2x)^a \div (-3x) \times 6y \div (-4y)^b = -\frac{4x^c}{y}$

となります。

もし $a = 1$、$b = 1$、$c = 1$ ならば、

$(-2x) \div (-3x) \times 6y \div (-4y) = \frac{-2x}{-3x} \times \frac{6y}{-4y} = \frac{2}{3} \times \frac{-3}{2} = -1$

となり、右辺の$-\frac{4x}{y}$とは異なります。

もし $a = 2$、$b = 1$、$c = 1$ ならば、

$(-2x)^2 \div (-3x) \times 6y \div (-4y) = (4x^2) \div (-3x) \times 6y \div (-4y) = \frac{4x^2}{-3x} \times \frac{6y}{-4y} = -\frac{4x}{3} \times (-\frac{3}{2}) = 2x$

となり、右辺の$-\frac{4x}{y}$とも異なります。

もし $a = 1$、$b = 2$、$c = 1$ ならば、

$(-2x) \div (-3x) \times 6y \div (-4y)^2 = (-2x) \div (-3x) \times 6y \div (16y^2) = \frac{-2x}{-3x} \times \frac{6y}{16y^2} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8y} = \frac{1}{4y}$

となり、右辺の$-\frac{4x}{y}$とも異なります。

もし $a = 2$、$b = -1$、$c = 1$ ならば、

$(-2x)^2 \div (-3x) \times 6y \div (-4y)^{-1} = 4x^2 \div (-3x) \times 6y \times (-4y) = \frac{4x^2}{-3x} \times (-24y^2) = \frac{4}{3}x \times 24y^2 = 32xy^2$

となり、右辺の$-\frac{4x}{y}$とも異なります。

式全体にyが含まれているため、もし$b = 0$とすると、 $(-4y)^0 = 1$となり、

$(-2x)^a \div (-3x) \times 6y \div (-4y)^0 = (-2x)^a \div (-3x) \times 6y = -\frac{4x^c}{y}$

左辺にyが含まれるが、右辺の分母にyが含まれるのは不自然です。

もし $a=1$、$b=-1$、$c=0$ とすると、

$(-2x)^1 \div (-3x) \times 6y \div (-4y)^{-1} = -2x \div (-3x) \times 6y \times (-4y) = \frac{2}{3} \times (-24y^2) = -16y^2$

右辺は $-\frac{4x^0}{y} = -\frac{4}{y}$なので、やはり不適です。

問題を見直すと、

$(-2x)^{\boxed{1}} \div (-3x) \times 6y \div (-4y)^{\boxed{-1}} = -\frac{4x^{\boxed{0}}}{y}$

とすると、

$(-2x) \div (-3x) \times 6y \div \frac{1}{-4y} = \frac{2}{3} \times 6y \times (-4y) = \frac{2}{3} \times (-24y^2) = -16y^2$

右辺は$-\frac{4x^0}{y} = -\frac{4}{y}$なので、不適です。

$(-2x)^{\boxed{1}} \div (-3x) \times 6y \div (-4y)^{\boxed{1}} = -\frac{4x^{\boxed{1}}}{y}$

となると、

$\frac{-2x}{-3x} \times \frac{6y}{-4y} = \frac{2}{3} \times (-\frac{3}{2}) = -1 \neq -\frac{4x}{y}$

もし、 $x^1, (-4y)^{-1}$ が分母と分子のyが相殺されるのであれば、ありえます。

$(-2x)^2 \div (-3x) \times 6y \div (-4y)$

$a=1$ で、(-4y)が分数になるなら、x^1になると考えられます。

3. 最終的な答え

$\boxed{1}$、$\boxed{-1}$、$\boxed{0}$