2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ が与えられています。ここで、$a$ は正の定数です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。 (2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が 8 であるとき、$a$ の値を求めます。また、このときの $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求めます。 (3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t$ は $t > \frac{1}{2}$ を満たす定数とします。$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき、$M$ を $t$ を用いて表します。また、$M - m = 3$ となるような $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ が与えられています。ここで、$a$ は正の定数です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が 8 であるとき、$a$ の値を求めます。また、このときの $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求めます。

(3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t$ は $t > \frac{1}{2}$ を満たす定数とします。$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき、$M$ を $t$ を用いて表します。また、$M - m = 3$ となるような $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a = (x^2 - 4x + 4) - 4 + a^2 - a = (x-2)^2 + a^2 - a - 4$

よって、頂点の座標は $(2, a^2 - a - 4)$ です。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値を考えます。軸 $x = 2$ は区間 $0 \le x \le 3$ に含まれているため、$f(x)$ の最小値は頂点の $y$ 座標 $a^2 - a - 4$ になります。

問題文より、$a^2 - a - 4 = 8$ です。

$a^2 - a - 12 = 0$

$(a - 4)(a + 3) = 0$

$a = 4$ または $a = -3$

$a > 0$ より、$a = 4$ です。

このとき、$f(x) = x^2 - 4x + 4^2 - 4 = x^2 - 4x + 12$ です。

$f(0) = 12$, $f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 12 = 9 - 12 + 12 = 9$

したがって、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値は 12 です。

(3) $a = 4$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x + 12 = (x-2)^2 + 8$ です。

$t > \frac{1}{2}$ より、$t \le x \le t+3$ の区間において、$x=2$が含まれるかどうかで場合分けします。

(i) $t \le 2 \le t+3$ つまり $-1 \le t \le 2$ のとき、最小値 $m = f(2) = 8$ となります。

このとき、$M = \max(f(t), f(t+3))$ です。

$f(t) = (t-2)^2 + 8$, $f(t+3) = (t+3-2)^2 + 8 = (t+1)^2 + 8$

$f(t) - f(t+3) = (t-2)^2 - (t+1)^2 = (t^2 - 4t + 4) - (t^2 + 2t + 1) = -6t + 3$

$-6t + 3 > 0$ のとき、$t < \frac{1}{2}$ となります。

$-1 \le t \le 2$ かつ $t > \frac{1}{2}$ より、$\frac{1}{2} < t \le 2$ のとき、$M = f(t+3) = (t+1)^2 + 8$ となります。

このとき、$M - m = (t+1)^2 + 8 - 8 = (t+1)^2 = 3$

$t+1 = \pm \sqrt{3}$

$t = -1 \pm \sqrt{3}$

$\frac{1}{2} < t \le 2$ より、$t = -1 + \sqrt{3} \approx -1 + 1.732 = 0.732$

$-6t + 3 < 0$ のとき、$t > \frac{1}{2}$ となります。

(ii) $t > 2$ のとき、最小値 $m = f(t)$ となります。

$M = f(t+3) = (t+1)^2 + 8$

$m = f(t) = (t-2)^2 + 8$

$M - m = (t+1)^2 - (t-2)^2 = (t^2 + 2t + 1) - (t^2 - 4t + 4) = 6t - 3 = 3$

$6t = 6$

$t = 1$

これは $t > 2$ を満たさないので不適。

$t < -1$のとき、$M = f(t)$, $m = f(t+3)$

$M - m = (t-2)^2 - (t+1)^2 = -6t + 3 = 3$

$-6t = 0$

$t = 0$

これは $t < -1$ を満たさないので不適。

$t = -1 + \sqrt{3}$ のとき、$M = (t+1)^2 + 8 = 3 + 8 = 11$

$m = 8$

$M - m = 3$

したがって、$t = -1 + \sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2, a^2 - a - 4)$

(2) $a = 4$, 最大値: 12

(3) $M = (t+1)^2 + 8$, $t = -1 + \sqrt{3}$