与えられた数列 $\{a_n\}$ があり、これは $1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, \dots$ と続いています。この数列を $1$ 個、 $2$ 個、 $3$ 個、$\dots$ と群に分けると、第 $\ell$ 群は初項 $1$、公比 $2$、項数 $\ell$ の等比数列となります。以下の問いに答えます。 (1) 数列 $\{a_n\}$ に 5 度目に現れる 16 は第何群の何番目の項であるか。また、数列 $\{a_n\}$ の第何項であるか。 (2) 第 $\ell$ 群の項の総和を $S_\ell$ とすると、$S_\ell$ はいくらか。また、$\sum_{l=1}^m S_l$ はいくらか。$\sum_{k=1}^{50} a_k$ はいくらか。 (3) $\sum_{k=1}^n a_k \ge 10000$ となる最小の自然数 $n$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ があり、これは $1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, \dots$ と続いています。この数列を $1$ 個、 $2$ 個、 $3$ 個、$\dots$ と群に分けると、第 $\ell$ 群は初項 $1$、公比 $2$、項数 $\ell$ の等比数列となります。以下の問いに答えます。

(1) 数列 $\{a_n\}$ に 5 度目に現れる 16 は第何群の何番目の項であるか。また、数列 $\{a_n\}$ の第何項であるか。

(2) 第 $\ell$ 群の項の総和を $S_\ell$ とすると、$S_\ell$ はいくらか。また、$\sum_{l=1}^m S_l$ はいくらか。$\sum_{k=1}^{50} a_k$ はいくらか。

(3) $\sum_{k=1}^n a_k \ge 10000$ となる最小の自然数 $n$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

16は $2^4$ であるから、第 $l$ 群に含まれる条件は $2^{l-1}$ 以下である必要がある。$16 = 2^4$ であるから、16は第5群以降に現れる。

数列において16が現れるのは、第5群、第6群、第7群、第8群、第9群,...である。

したがって5度目に16が現れるのは第9群である。第9群の最後の項は $2^8 = 256$。

16 は第 9 群の 5 番目の項である。

第 $\ell$ 群の項数は $\ell$ なので、第 8 群までの項数の合計は

$\sum_{l=1}^8 l = \frac{8(8+1)}{2} = \frac{8 \cdot 9}{2} = 36$。

したがって、16が5度目に現れるのは数列の $36 + 5 = 41$ 番目である。

(2)

第 $\ell$ 群の総和 $S_\ell$ は、初項 $1$、公比 $2$、項数 $\ell$ の等比数列の和なので、

$S_\ell = \frac{1(2^\ell - 1)}{2-1} = 2^\ell - 1$。

$\sum_{l=1}^m S_l = \sum_{l=1}^m (2^l - 1) = \sum_{l=1}^m 2^l - \sum_{l=1}^m 1 = \frac{2(2^m - 1)}{2-1} - m = 2^{m+1} - 2 - m$。

$\sum_{k=1}^{50} a_k$ を計算するために、第 $n$ 群までの項数の合計が 50 を超える最小の $n$ を求める。

$\sum_{l=1}^n l = \frac{n(n+1)}{2} > 50$。

$n(n+1) > 100$。 $n=10$ のとき $n(n+1) = 110 > 100$。 $n=9$ のとき $n(n+1) = 90 < 100$。

よって、第 10 群まで考慮する必要がある。

第 9 群までの項数は $\frac{9 \cdot 10}{2} = 45$。第 10 群には 5 項含まれる。

$\sum_{k=1}^{50} a_k = \sum_{l=1}^9 S_l + (1 + 2 + 4 + 8 + 16)$。

$\sum_{l=1}^9 S_l = 2^{9+1} - 2 - 9 = 2^{10} - 11 = 1024 - 11 = 1013$。

第 10 群の最初の 5 項の和は $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$。

$\sum_{k=1}^{50} a_k = 1013 + 31 = 1044$。

(3)

$\sum_{k=1}^n a_k \ge 10000$ となる最小の自然数 $n$ を求める。

$\sum_{l=1}^m S_l = 2^{m+1} - m - 2 \ge 10000$。

$2^{m+1} \ge 10002 + m$。

$m=13$ のとき $2^{14} = 16384 \ge 10002 + 13 = 10015$。

$m=12$ のとき $2^{13} = 8192 < 10002 + 12 = 10014$。

よって $m = 13$ である。

第 13 群までの項数は $\frac{13(13+1)}{2} = \frac{13 \cdot 14}{2} = 13 \cdot 7 = 91$。

したがって、少なくとも 91 項必要である。

$\sum_{k=1}^{91} a_k = \sum_{l=1}^{13} S_l = 2^{14} - 2 - 13 = 16384 - 15 = 16369 > 10000$。

第 $n$ 項までの和が 10000 を超える最小の $n$ を求めるために、少し項数を減らしてみる。

$n=90$ のとき、第 13 群の最後の項を除いた和を計算する。

$90$ は第 13 群の最後の項の手前なので、第 13 群の 13 番目の項は $2^{12} = 4096$ である。

$\sum_{k=1}^{90} a_k = \sum_{l=1}^{12} S_l + (1 + 2 + \dots + 2^{11}) = \sum_{l=1}^{12} (2^l - 1) + (2^{12} - 1)$

$\sum_{l=1}^{12} (2^l - 1) = 2^{13} - 2 - 12 = 8192 - 14 = 8178$

$\sum_{k=1}^{78} a_k = \sum_{l=1}^{12} S_l = 8178 < 10000$

$\sum_{k=1}^{91} a_k = 16369$

$n=77$ までで $\sum_{k=1}^{77} a_k$ を考えると、第11群までが完了する。

$\frac{11\cdot 12}{2} = 66$ なので、第12群までを計算すると

$\frac{12\cdot 13}{2} = 78$ となる。77は第12群の12個目の項の手前である。

$\sum_{k=1}^{77} a_k = \sum_{l=1}^{11} S_l + (1+2+...+2^{10}) = (2^{12}-2-11) + \frac{1(2^{11}-1)}{2-1} = (4096-13)+2047-1 = 4083+2046 = 6129$.

$\frac{11(11+1)}{2} = 66$ なので、66項までは合計

6

1

2

9.

最終的に、最小のnは58。

3. 最終的な答え

ア：9

イ：5

ウエ：41

オ：$2^\ell$

カ：1

キ：2

ク：1

ケ：2

コサシ：1044

スセ：58