与えられた4つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{1}{x^2 - x - 6} dx$ (2) $\int \frac{x}{x^2 + 2x + 2} dx$ (3) $\int \frac{1}{x^2(x+1)^2} dx$ (4) $\int \frac{1}{x(x+1)(x+2)} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{1}{x^2 - x - 6} dx$

(2) $\int \frac{x}{x^2 + 2x + 2} dx$

(3) $\int \frac{1}{x^2(x+1)^2} dx$

(4) $\int \frac{1}{x(x+1)(x+2)} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{x^2 - x - 6} dx$

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$ と因数分解できます。部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{x^2 - x - 6} = \frac{1}{(x-3)(x+2)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+2}$

$1 = A(x+2) + B(x-3)$

$x = 3$ のとき、$1 = 5A$ より $A = \frac{1}{5}$

$x = -2$ のとき、$1 = -5B$ より $B = -\frac{1}{5}$

よって、

$\int \frac{1}{x^2 - x - 6} dx = \int \left( \frac{1/5}{x-3} - \frac{1/5}{x+2} \right) dx$

$= \frac{1}{5} \int \frac{1}{x-3} dx - \frac{1}{5} \int \frac{1}{x+2} dx$

$= \frac{1}{5} \ln|x-3| - \frac{1}{5} \ln|x+2| + C$

$= \frac{1}{5} \ln \left| \frac{x-3}{x+2} \right| + C$

(2) $\int \frac{x}{x^2 + 2x + 2} dx$

$x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1$ と変形できます。

分子を $(x+1)$ の形にすると、 $x = (x+1) - 1$

$\int \frac{x}{x^2 + 2x + 2} dx = \int \frac{x+1 - 1}{(x+1)^2 + 1} dx$

$= \int \frac{x+1}{(x+1)^2 + 1} dx - \int \frac{1}{(x+1)^2 + 1} dx$

第1項について、$u = (x+1)^2 + 1$ と置換すると、$du = 2(x+1) dx$ より $(x+1)dx = \frac{1}{2}du$

$\int \frac{x+1}{(x+1)^2 + 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 2x + 2) + C_1$

第2項について、

$\int \frac{1}{(x+1)^2 + 1} dx = \arctan(x+1) + C_2$

よって、

$\int \frac{x}{x^2 + 2x + 2} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 2x + 2) - \arctan(x+1) + C$

(3) $\int \frac{1}{x^2(x+1)^2} dx$

部分分数分解をします。

$\frac{1}{x^2(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^2}$

$1 = Ax(x+1)^2 + B(x+1)^2 + Cx^2(x+1) + Dx^2$

$1 = Ax(x^2 + 2x + 1) + B(x^2 + 2x + 1) + Cx^2(x+1) + Dx^2$

$1 = Ax^3 + 2Ax^2 + Ax + Bx^2 + 2Bx + B + Cx^3 + Cx^2 + Dx^2$

$1 = (A+C)x^3 + (2A+B+C+D)x^2 + (A+2B)x + B$

係数を比較して

$A+C = 0$

$2A+B+C+D = 0$

$A+2B = 0$

$B = 1$

$A = -2B = -2$

$C = -A = 2$

$D = -2A-B-C = -2(-2) - 1 - 2 = 4-1-2 = 1$

したがって、

$\int \frac{1}{x^2(x+1)^2} dx = \int \left( \frac{-2}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} \right) dx$

$= -2\ln|x| - \frac{1}{x} + 2\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + C$

$= 2\ln\left|\frac{x+1}{x}\right| - \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + C$

$= 2\ln\left|\frac{x+1}{x}\right| - \frac{2x+1}{x(x+1)} + C$

(4) $\int \frac{1}{x(x+1)(x+2)} dx$

部分分数分解をします。

$\frac{1}{x(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}$

$1 = A(x+1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x+1)$

$x=0$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x=-1$ のとき、$1 = -B$ より $B = -1$

$x=-2$ のとき、$1 = 2C$ より $C = \frac{1}{2}$

したがって、

$\int \frac{1}{x(x+1)(x+2)} dx = \int \left( \frac{1/2}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1/2}{x+2} \right) dx$

$= \frac{1}{2} \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{2} \ln|x+2| + C$

$= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x(x+2)}{(x+1)^2} \right| + C$

$= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x^2+2x}{(x+1)^2} \right| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{5} \ln \left| \frac{x-3}{x+2} \right| + C$

(2) $\frac{1}{2} \ln(x^2 + 2x + 2) - \arctan(x+1) + C$

(3) $2\ln\left|\frac{x+1}{x}\right| - \frac{2x+1}{x(x+1)} + C$

(4) $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x(x+2)}{(x+1)^2} \right| + C$