与えられた積分を計算します。 $$ \int \frac{1}{x+1} \sqrt{\frac{x}{1-x}} dx $$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int \frac{1}{x+1} \sqrt{\frac{x}{1-x}} dx$$

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin^2 \theta$ と置換します。すると、$dx = 2 \sin \theta \cos \theta d\theta$ となります。

また、$\sqrt{\frac{x}{1-x}} = \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{1-\sin^2 \theta}} = \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$となります。

$x+1 = \sin^2 \theta + 1$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$$\int \frac{1}{\sin^2 \theta + 1} \tan \theta (2 \sin \theta \cos \theta) d\theta$$

$$= \int \frac{1}{\sin^2 \theta + 1} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (2 \sin \theta \cos \theta) d\theta$$

$$= \int \frac{2 \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta + 1} d\theta$$

$$= \int \frac{2 \sin^2 \theta}{1 + \sin^2 \theta} d\theta$$

ここで、$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ を用いると、

$$\int \frac{2 (\frac{1 - \cos 2\theta}{2})}{1 + \frac{1 - \cos 2\theta}{2}} d\theta = \int \frac{1 - \cos 2\theta}{\frac{3 - \cos 2\theta}{2}} d\theta = \int \frac{2(1 - \cos 2\theta)}{3 - \cos 2\theta} d\theta$$

$$= \int \frac{2(1 - \cos 2\theta)}{3 - \cos 2\theta} d\theta = \int \frac{6 - 2 \cos 2\theta - 4}{3 - \cos 2\theta} d\theta = \int \frac{2(3 - \cos 2\theta) - 4}{3 - \cos 2\theta} d\theta$$

$$= \int \left(2 - \frac{4}{3 - \cos 2\theta}\right) d\theta = 2 \int d\theta - 4 \int \frac{1}{3 - \cos 2\theta} d\theta$$

ここで、$\tan \phi = \tan \theta$とすると、

$x = \frac{\tan^2\phi}{1+\tan^2\phi}$.

$t = \tan \theta$とすると、

$\cos 2\theta = \frac{1 - t^2}{1+t^2}$.

$\int \frac{1}{3 - \cos 2\theta} d\theta = \int \frac{1}{3 - \frac{1 - t^2}{1+t^2}} \frac{dt}{1+t^2} = \int \frac{1}{3(1+t^2) - (1 - t^2)} dt = \int \frac{1}{2+4t^2}dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+2t^2} dt = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\sqrt{2}t)$

$$\int \frac{1}{3 - \cos 2\theta} d\theta = \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan(\sqrt{2} \tan \theta)$$

$$2 \theta - 4 \frac{1}{2 \sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} \tan \theta) = 2 \theta - \sqrt{2} \arctan (\sqrt{2} \tan \theta)$$

最後に$\theta = \arcsin \sqrt{x}$.

$\theta = \arcsin (\sqrt{x})$ より、 $\tan \theta = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$.

$2\arcsin (\sqrt{x}) - \sqrt{2}\arctan(\sqrt{2}\sqrt{\frac{x}{1-x}}) + C$

3. 最終的な答え

$$2 \arcsin (\sqrt{x}) - \sqrt{2} \arctan \left( \sqrt{\frac{2x}{1-x}} \right) + C$$