与えられた行列のランク（階数）を求める問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & -3 \\ -3 & 2 & 2 & 8 \\ 2 & 4 & -5 & -9 \end{pmatrix}$
2025/7/30
1. 問題の内容
与えられた行列のランク（階数）を求める問題です。行列は以下の通りです。
$\begin{pmatrix}
1 & -3 & 4 & 2 \\
2 & 1 & 1 & -3 \\
-3 & 2 & 2 & 8 \\
2 & 4 & -5 & -9
\end{pmatrix}$
2. 解き方の手順
行列のランクは、行基本変形（または列基本変形）によって階段行列に変形したときの、0でない行の数です。与えられた行列に対して、行基本変形を行います。
まず、第1行を使って、第2行, 第3行, 第4行の第1列を0にします。
第2行に「第1行の-2倍を足す」操作を行います。
$\begin{pmatrix}
1 & -3 & 4 & 2 \\
0 & 7 & -7 & -7 \\
-3 & 2 & 2 & 8 \\
2 & 4 & -5 & -9
\end{pmatrix}$
第3行に「第1行の3倍を足す」操作を行います。
$\begin{pmatrix}
1 & -3 & 4 & 2 \\
0 & 7 & -7 & -7 \\
0 & -7 & 14 & 14 \\
2 & 4 & -5 & -9
\end{pmatrix}$
第4行に「第1行の-2倍を足す」操作を行います。
$\begin{pmatrix}
1 & -3 & 4 & 2 \\
0 & 7 & -7 & -7 \\
0 & -7 & 14 & 14 \\
0 & 10 & -13 & -13
\end{pmatrix}$
次に、第2行を使って、第3行と第4行の第2列を0にします。
第3行に「第2行を足す」操作を行います。
$\begin{pmatrix}
1 & -3 & 4 & 2 \\
0 & 7 & -7 & -7 \\
0 & 0 & 7 & 7 \\
0 & 10 & -13 & -13
\end{pmatrix}$
第4行に「第2行の-10/7倍を足す」操作を行います。
$\begin{pmatrix}
1 & -3 & 4 & 2 \\
0 & 7 & -7 & -7 \\
0 & 0 & 7 & 7 \\
0 & 0 & -23/7 & -23/7
\end{pmatrix}$
最後に、第3行を使って、第4行の第3列を0にします。
第4行に「第3行の23/49倍を足す」操作を行います。
$\begin{pmatrix}
1 & -3 & 4 & 2 \\
0 & 7 & -7 & -7 \\
0 & 0 & 7 & 7 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
この階段行列において、0でない行は3行なので、行列のランクは3です。
3. 最終的な答え
3