全体集合$U$が、$1$から$100$までの整数全体であるとき、$U$の部分集合$A$を、$9$の倍数の集合とする。このとき、$A$の補集合$\overline{A}$の要素の個数$n(\overline{A})$を求める。

1. 問題の内容

全体集合$U$が、$1$から$100$までの整数全体であるとき、$U$の部分集合$A$を、$9$の倍数の集合とする。このとき、$A$の補集合$\overline{A}$の要素の個数$n(\overline{A})$を求める。

2. 解き方の手順

まず、全体集合$U$の要素の個数$n(U)$を求める。これは、$1$から$100$までの整数の個数なので、$n(U) = 100$である。

次に、集合$A$の要素の個数$n(A)$を求める。$A$は$9$の倍数の集合なので、$9$の倍数を小さい順に列挙すると、$9, 18, 27, ..., 99$となる。$99$は$9 \times 11$なので、$A$の要素は、$9 \times 1, 9 \times 2, ..., 9 \times 11$である。したがって、$n(A) = 11$である。

$A$の補集合$\overline{A}$は、$U$に含まれる要素のうち、$A$に含まれない要素の集合である。したがって、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$で求めることができる。

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A) = 100 - 11 = 89$

3. 最終的な答え

$n(\overline{A}) = 89$