与えられた不等式 $|2x+5| < -3x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|2x+5| < -3x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、絶対値の中身の符号で場合分けして考えます。

(i) $2x+5 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq -\frac{5}{2}$ のとき

$|2x+5| = 2x+5$ なので、与えられた不等式は

$2x+5 < -3x$

$5x < -5$

$x < -1$

$x \geq -\frac{5}{2}$ かつ $x < -1$ より、$-\frac{5}{2} \leq x < -1$

(ii) $2x+5 < 0$ のとき、つまり $x < -\frac{5}{2}$ のとき

$|2x+5| = -(2x+5) = -2x-5$ なので、与えられた不等式は

$-2x-5 < -3x$

$x < 5$

$x < -\frac{5}{2}$ かつ $x < 5$ より、$x < -\frac{5}{2}$

(i), (ii) より、解は $x < -1$ です。

ここで、$-3x$ は不等式の右辺にありますが、$|2x+5|$ は常に0以上なので、$-3x > 0$ が必要です。つまり、$x < 0$ が必要です。

これを考慮すると、(i) の場合、$-\frac{5}{2} \le x < -1$ と $x < 0$ から、 $-\frac{5}{2} \le x < -1$ となります。

(ii) の場合、$x < -\frac{5}{2}$ と $x < 0$ から、$x < -\frac{5}{2}$ となります。

したがって、(i)と(ii)を合わせると、$x < -1$ となります。

$-3x>0$ より、$x<0$である必要があります。したがって、$x < -1$と$x < 0$の共通範囲を考えると、$x<-1$となります。

3. 最終的な答え

$x < -1$